WisFaq!

Reeks bewijs

Ik zag vandaag in de spits de in eerste instantie niet zo bijzondere reeks:
1 2 7 32 ? enz.

Hieruit volgt:
Indien:
A(1)=1
n=2

A(n)= (A(n-1)*5) -3
gelijk is aan:
A(n)= A(n-1) +5^(n-2)

Mijn vraag is hoe bewijs je zoiets?

Wytze
24-6-2004

Antwoord

Ik neem aan dat je bedoelt: hoe kom je van A(n)= (A(n-1)*5) -3 naar A(n)= A(n-1) +5^(n-2).

Wel, bekijk de rij u(n)=A(n)-³/₄.
u(1)=1-³/₄=¹/₄.
u(n)=A(n)-³/₄=5*A(n-1)-3-³/₄=5*A(n-1)-15/4=5*(A(n-1)-3/4)=5*u(n-1).
Dus u(n) is een meetkundige rij met reden 5 en beginterm ¹/₄.
Dus u(n)=¹/₄*5^n-1.
Hieruit volgt
A(n)-³/₄=¹/₄*5^n-1, dus
A(n)=³/₄+¹/₄*5^n-1=
³/₄+5/4*5^n-2=
³/₄+¹/₄*5^n-2+5^n-2=
A(n-1)+5^n-2

hk
24-6-2004