WisFaq!

Afstand van punt en vlak

Hallo,

Ik heb de volgende vraag voorgeschoteld gekregen waar ik werkelijk waar geen touw aan kan vastknopen. De vraag is:

Gegeven is het punt P = (3,2,4) en het vlak V met de vergelijking x-y+2z=3. Bepaal de afstand van P tot V door
a) de loodlijn L van P op V te bepalen
b) het snijpunt S van L met V te bepalen
c) de lengte van het lijnstuk PS te bepalen.

Ik weet niet hoe ik hiermee moet beginnen laat staan hoe ik tot een complete (volgens 'het boekje') oplossing kan komen. Wie wil mij helpen met een complete uitwerking, zodat ik enigzins kan na redeneren over 'hoe' en 'wat'. Alvast ontzettend bedankt!

dj
22-6-2004

Antwoord

a) Aangezien je de vergelijking van het vlak hebt gegeven, weet je de normaalvector ook al, die is gelijk aan de coëfficiënten van x, y en z. Dus de normaalvector is . Je moet nu een lijn door P(3,2,4) opstellen die loodrecht staat op het vlak V, maar de normaalvector staat al loodrecht op het vlak, dus als je voor de richtingsvector van de lijn de normaalvector kiest, en als steunvector het punt P , dan krijg je als vergelijking van de lijn door P loodrecht op V .

b) Alle punten op de lijn hebben als coördinaat (3+l,2-l,4+2l). Ergens snijdt de lijn het vlak, dus hier zijn de coördinaten gelijk, dus de x-coördinaat, de y-coördinaat en de z-coördinaat invullen in de vergelijking van het vlak levert 3+l-(2-l)+2(4+2l) = 3.
Dit levert één l op die je kunt invullen in de vergelijking van de lijn, dit is het snijpunt S met het vlak (natuurlijk ligt S ook op de lijn, en de lijn gaat door P). En aangezien de lijn loodrecht op het vlak staat, is de afstand van P tot V de afstand van het punt P(3,2,4) tot het snijpunt S.

c) Je weet de coördinaten van de 2 punten van P en S, de lengte van twee willekeurige punten P en Q bepaal je door de formule (Pythagoras in de ruimte)

te gebruiken.

Groetjes,

Davy.

Davy
22-6-2004