WisFaq!

Integreren van diverse functies

Hoi, ik heb een aantal functies die ik moet primitiveren waar ik niet uitkom, ik hoop dat jullie me kunnen helpen!

ten eerste de functie sin²(x)·cos(x) - p cos (x), volgens mij komt deze van de standaardvorm g'(x) · g(x) maar verder heb ik geen idee oe ik deze functie moet aanpakken.

In deze categorie functies heb ik nog meer vragen, namelijk
sin (X) · cos²(X) en (p/cos²(X)) + 2 tan (x)

Verder kom ik ook niet uit de functie: 1/(xlnx) en (x³)/(x²+1)

Ik hoop dat iemand mij met (een van deze) functies kan helpen, ik heb namelijk donderdag hiervan een toets!

Bedankt!

Sofie
20-6-2004

Antwoord

de aanpak is als volgt (we hakken je functies op, die uit meerdere componenten bestaan)

bij $\int{}$sin²x.cosx dx kun je de cosx als volgt naar achter de d halen:
... = $\int{}$sin²x dsinx

met andere woorden: een factor uit de integrand mag je achter de d halen door die factor te primitiveren.

Grote vraag is: WAT-o-wat is hier nou de lol van?
Wel, als je kijkt naar $\int{}$sin²x dsinx betekent dat zowat hetzelfde als $\int{}$x²dx.
Dit laatste betekent immers: dat je x² moet primitiveren naar x. en dat is ¹/₃x³
En $\int{}$sin²x dsinx betekent dat je sin²x moet primitiveren naar sinx. en dat is ¹/₃(sinx)³ ofwel ¹/₃sin³x

Een andere manier om het te snappen is: Je kunt
$\int{}$sin²x dsinx lezen als $\int{}$y² dy. en dat is ¹/₃y³.

Nu even terug naar jouw 1e probleem:
$\int{}$sin²x.cosx -p.cosx dx (hak deze in stukken)
= $\int{}$sin²x.cosx dx - $\int{}$p.cosx dx
= $\int{}$sin²x dsinx - [p.sinx]
= [¹/₃sin³x - p.sinx]

Nu het tweede probleem:
$\int{}$sinx.cos²x dx
Hier kun je de sinx achter de d brengen door deze te primitiveren:
= $\int{}$cos²x d(-cosx)
de '-' mag je naar voren halen:
= -$\int{}$cos²x dcosx (en deze kun je lezen als -$\int{}$y²dy)
= -[¹/₃cos³x]

Derde probleem. (ietsje lastiger)
$\int{}$p/cos²x + 2tanx dx.
ophakken in stukken:
= $\int{}$p/cos²x dx + $\int{}$2tanx dx
De eerlijkheid gebied me te zeggen dat ik zo even niet weet hoe je kunt beredeneren dat de primitieve van 1/cos²x gelijk is aan tanx. Maar een standaard-afgeleide is [tanx]'=1/cos²x en die onthoud ik gewoon altijd.

dan het stukje 2tanx = 2.sinx/cosx
$\int{}$2tanx dx = $\int{}$2.sinx/cosx dx = (sinx primitiveren)
= 2$\int{}$1/cosx d(-cosx)
= -2$\int{}$1/cosx dcosx.
Dit is te lezen als -2.$\int{}$1/y dy = [-2.ln|y|]
Dus de uitkomst is [-2ln|cosx|]

tot slot:
$\int{}$1/xlnx dx = $\int{}$(1/x).(1/lnx)dx (1/x primitiveren)
= $\int{}$(1/lnx) d(lnx) (is te lezen als ...., dus eindantwoord = ...)

en $\int{}$x³/(x²+1) dx = $\int{}$x.x²/(x²+1) dx (de x primitiveren)
= $\int{}$x²/(x²+1) d(¹/₂x²)
= ¹/₂$\int{}$x²/(x²+1) dx² is te schrijven als ....

pas n$\int{}$g een truc toe: x²/(x²+1) is hetzelfde als
(x²+1-1/(x²+1) = (x²+1)/(x²+1) - 1/(x²+1)

enz...
groeten,

martijn

mg
20-6-2004