WisFaq!

Afgeleide functie van een logaritmische functie

Ik heb morgen een pwk voor wiskunde en ik snap niet hoe je de afgeleide functie van: h(x)=^0,5log x · ²logx kunt bepalen. In het antwoordenboekje staat als antwoord: (ln²x)/ (ln 0,5)
Ik snap ook niet hoe je de coördinaten van de snijpunten van de grafieken: f(x)= ²log (5-x) en g(x)= 2- ²log x

Kunnen jullie alsjeblieft snel antwoorden? Alvast bedankt!

Marieke
20-6-2004

Antwoord

Hoi,

De functie h(x) is een product van de functies ^0,5log(x) en ²log(x). Om de afgeleide van een product te bepalen gebruik je de diffentieerregel (f(x)·g(x))' = f(x)·g'(x) + f'(x)·g(x). Stel f(x)=^0,5log(x) en g(x)=²log(x). Wat je ook moet weten is dat (^alog(x))' = ¹/_x·ln(a). Dus f'(x)=¹/_x·ln(¹/2) en dat is gelijk aan f'(x)=¹/_x·ln(2^-1) = ¹/_-x·ln(2) = -¹/_x·ln(2).

g'(x)=¹/_x·ln(2).

Þ (f(x)·g(x))' = ^0,5log(x)·¹/_x·ln(2) -¹/_x·ln(2)·²log(x). Die ^0,5log(x) mogen we herschrijven als ^ln(x)/_ln(¹/2), en ²log(x) = ^ln(x)/_ln(2).

Dus (f(x)·g(x))' = ^ln(x)/_{x·ln(2)·ln(¹/2)} + ^ln(x)/_{x·ln(2)·ln(¹/2)} = ^2·ln(x)/_{x·ln(2)·ln(¹/2)} en aangezien ln(¹/₂) = -ln(2) is dit gelijk aan -2·(^ln(x)/_x·(ln(2))²). Dus het antwoordenboekje heeft het fout (of jij hebt het antwoord verkeerd ingetikt) of jij hebt de verkeerde functies gegeven.

De snijpunten van f(x)=²log(5-x) en g(x)=2-²log(x) bepalen is niet zo moeilijk. Als twee functies elkaar snijden dan hebben ze gelijke x- en y-coördinaten voor die punten. Om de x-coördinaat te vinden stel je de functies aan elkaar gelijk. Als je de x-coördinaat hebt gevonden dan vul je die in een van de functies in om de y-coördinaat te vinden (het kan voorkomen dat de functie niet gedefinieerd is in dit punt, dan vervalt het punt in de oplossingsverzameling).

Om het snijpunt van f(x) en g(x) te bepalen, stel je dus ²log(5-x) gelijk aan 2-²log(x) Þ ²log(5-x) = 2-²log(x). Zet de 'logjes' in één lid, dus ²log(5-x) + ²log(x) = 2. Gebruik nu de rekenregel ^alog(x) + ^alog(y) = ^alog(x·y). Dus ²log((5-x)·x) = 2. Wat bereken je met een logaritme? Wat de exponent moet worden behorende bij een gegeven grondtal om een gegeven getal te krijgen, hier weet je het grondtal = 2 en wat de exponent is = 2, dus moet (5-x)·x = 2² Û -x² + 5x = 4 Û -x² + 5x - 4 = 0. Oplossen levert x = 1 en x = 4. Invullen in de functie levert geldige functiewaarden.

Probeer dus zoveel mogelijk onder één 'log' te zetten door allerlei rekenregels te gebruiken (die je dus ook perfect moet beheersen) en je moet weten wat een logaritme eigenlijk voorstelt (de definitie kennen). Verder is het belangrijk dat je je oplossing controleert (invult in de functie, of van te voren existentievoorwaarden stellen).

Davy.

Davy
20-6-2004