WisFaq!

Kortste som van afstanden

Dag Wisfaq,
In een rechthoekig (x,y)-coördinatenstelsel liggen de punten A(0;0), B(0;1) en C(7;0). Gevraagd is de ligging van het punt M(p;q) waarvoor geldt dat de som van de afstanden MA+MB+MC minimaal is. Een numerieke benadering levert M(0,28402840...;0,42689740...); MA+MB+MC=7,88190051...
Is dit probleem exact oplosbaar?
Dank voor uw aandacht,
Jaap

Jaap
20-6-2004

Antwoord

Beste Jaap,

Meetkundig gezien kun je dit oplossen m.b.v het punt van Torricelli.

Je tekent op elke zijde van de driehoek een gelijkzijdige driehoek en verbind het toppunt van elke gelijkzijdige driehoek met het niet-gemeenschappelijke punt van de aanliggende driehoek. Dus D met A, F met C en E met B. Dit levert je één snijpunt op (T). Dat punt wordt het punt van Torricelli genoemd en heeft als eigenschap dat |BT|+|TA|+|CT| minimaal is. Je vroeg of je dit punt exact kon bepalen.

Ik zou dat oplossen door een vergelijking van de lijn door C en F, en door B en E op te stellen, deze twee lijnen snijden elkaar in het punt van Torricelli.
Coördinaat C kennen we (7,0), maar coördinaat F nog niet.
Trek vanuit F een loodlijn op de x-as en noem het snijpunt G. Dan is hoek GAF = 180°-60°-90° Þ hoek GAF = 30°.
Aangezien we de loodlijn vanuit F hebben neergelaten op de x-as is hoek AGF = 90°. Aangezien driehoek ABF gelijkzijdig is, is |FA|=1. Dus sin(GAF)= sin(30°) = |FG|:|FA| Þ |FG|=sin(30°) Þ |FG|=¹/₂. Om |AG| te bepalen gebruiken we de cos(30°) = |AG|:|FA| Þ |AG|=¹/₂Ö3. Dus F heeft als coördinaat (-¹/₂Ö3 , ¹/₂). C heeft als coördinaat (7,0) dus de vergelijking van de lijn wordt y = ax + b. De richtingscoëfficiënt is -¹/_14+Ö3 Þ y = (-¹/_14+Ö3)x + b. Het punt (7,0) invullen levert y = (-¹/_14+Ö3)x + ⁷/_14+Ö3.

Je kunt zelf ook de vergelijking van de lijn door B en E opstellen. Om het coördinaat van E te bepalen laat je vanuit E een loodlijn op AC. Aangezien driehoek AEC gelijkzijdig is wordt AC middendoor gedeeld, dus de x-coördinaat is 3¹/₂. En |AE| is 7. Dus kun je de lengte van de loodlijn berekenen m.b.v. Pythagoras (of m.b.v. gonio), dat levert 3¹/₂Ö3. Dus E heeft als coördinaat (3¹/₂ , -3¹/₂Ö3). De richtingscoëfficiënt van de lijn is -²/₇-Ö3 en het punt (0,1) invullen levert y = (-²/₇-Ö3)x + 1.

Het snijpunt van de twee lijnen is het punt van Torricelli, dus (-¹/_14+Ö3)x + ⁷/_14+Ö3 = (-²/₇-Ö3)x + 1 oplossen. Dit oplossen levert x = ⁷/₂·(^7+Ö3/_21+50Ö3). Indien het oplossen van deze vergelijking problemen levert dan hoor ik het wel.

De y-coördinaat vind je door het gevonden x-coördinaat in een van de lijnen in te vullen, dus y is ⁷/₂·(^1+7Ö3/_21+50Ö3).

De som van de afstanden (|BT|+|TA|+|CT|) is dat kun je via Pythagoras berekenen.

Groetjes,

Davy.

Davy
20-6-2004