WisFaq!

Integraal over curve in vectorveld

Het vraagstuk waar ik mee vast loop gaat over een cirkel C: x²+y²=16 en z =5. van boven af gezien wordt C in positieve richting doorlopen. het vectorveld is F(x,y,z)=yz i +2xz j+ e^xy k. Gevraagd wordt integraal over C van F·dr.

Ik denk dat er eerst moet worden overgegaan op poolcoordinaten dus: x=rcosq = 4cosq, y=rsinq = 4sinq en z=5. waarbij 0q2p.

maar hoe stel je dan de integraal op? en wat heeft het 'positieve doorlopen' ermee te maken?

Jeroen
19-6-2004

Antwoord

Voor een lijnintegraal over een vectorveld geldt het volgende:
Stel F(x,y,z) is het vectorveld, en s(t) de contour waarlangs geïntegreerd moet worden.

Dan is de lijnintegraal gelijk aan
òF(s(t))·s'(t)dt

Met andere woorden, wanneer je een contour C hebt die wordt beschreven door
x=s_x(t)
y=s_y(t)
z=s_z(t)

dan pas je deze substituties ook toe op de x,y,z van het vectorveld, en vermenigvuldig je met de afgeleide van de contour.

in jouw geval is
F(x,y,z)=(yz, 2xz, e^xy);
s(t)=(4cost, 4sint, 5), en
s'(t)=(4sint, -4cost, 0).

dus:
ò_CF·dr
= ò_CF(s(t))·s'(t)dt
= òyz.4sint + 2xz.(-4cost) + e^xy.0 dt
= ò20sint.4sint + 40cost.(-4cost) dt
= .... etc..
waarbij de integratiegrenzen lopen van 0 (ondergrens) tot 2p (bovengrens).

De richting waarin de contour doorlopen wordt, is van belang voor (het teken van) de uitkomst.

stel je voor: je hebt een waterval met daaromheen lucht. Dit geheel vormt een vectorveld. Met in de waterval de vectorpijltjes naar beneden en in de lucht vectorpijltjes NUL.
Nu beschrijf je met je hand denkbeeldig een contour, een cirkel, waarbij je met je hand door het water gaand een opwaartse beweging maakt en vervolgens buiten de waterval weer een neerwaartse beweging.
Het doorlopen van deze contour kost je "moeite" omdat het vectorveld van het water de tegengestelde kant op wijst van die jij op wilt.
Ga je daarentegen een omgekeerde contour beschrijven (dwz een cirkel, door het water omlaag, en buiten het water om omhoog) dan zul je merken dat het water "meewerkt": De richting waarin de contour door het vectorveld doorlopen wordt, is van belang voor de berekening van de arbeid die de excersitie je kost.
Zo werkt het ook in abtracte zin bij vectorvelden in het algemeen.

groeten,
martijn

mg
21-6-2004