WisFaq!

Veelvlakken

Hallo,

Wij zijn Jacques en John. Donderdag moeten wij onzo PO voor wiskunde inleveren maar er reste ons nog één vraag:
Waarom zijn er maar 5 verschillende regelmatige veelvlakken? Is daar een bewijs voor?
alvast bedankt,
greetz Jacques en John

John van Aarssen
9-4-2002

Antwoord

Uiteraard is er een bewijs voor!
In de wiskunde wordt nooit iets zomaar aangenomen. Zelfs als men sterke vermoedens heeft dat iets waar is, dan nóg zal men het zonder bewijs nooit aanvaarden of gebruiken.

Het bewijs berust op een stelling van een beroemd collega van mij, Leonard Euler.

Hij bewees dat er bij een regelmatig veelvlak een verband bestaat tussen het aantal hoekpunten(H), het aantal ribben(R) en het aantal zijvlakken(Z).
Het bedoelde verband is verrassend simpel, namelijk Z+H=R+2
Probeer het maar eens bij de kubus: H=8, Z=6 en R=12

Deze stelling van Euler, tezamen met enkele stellingen over de mogelijke hoekgrootten, kunnen laten zien dat er maar 5 regelmatige veelvlakken mogelijk zijn.
Zoals gezegd: een vrij simpele conclusie, maar niet met een bewijs dat je zo maar eventjes oplepelt.

MBL
9-4-2002