WisFaq!

Afgeleide van de sinus, cosinus en tangens

Ik moet nog even de laatste hand leggen aan mijn profielwerkstuk. Het enige wat ik nog nodig heb zijn de bewijzen dat:

f(x)=sin x $\to$ f'(x)=cos x
f(x)=cos x $\to$ f'(x)=-sin x
f(x)=tan x $\to$ f'(x)= 1/cos² x = 1+tan² x

Als jullie mij hierbij zouden kunnen helpen zou ik dat zeer op prijs stellen. Ik heb namelijk al aardig wat internetpagina's bekeken, maar niets kunnen vinden.

Henk van Malsen
16-6-2004

Antwoord

Beste Henk,

Dit doen we via de limietdefinitie van de afgeleide. Als voorbeeld de afgeleide van de sinus. We krijgen:

.

Gebruikmakend van de verdubbelingsformule voor de cosinus weten we dat cos(x) = 1-2sin²(^x/₂), zodat sin(x)cos(h)-sin(x) = -2sin²(^h/₂)sin(x). Uit de standaardlimiet



zien we (met enige moeite) dat als h$\to$0 dan ook ^{sin(x)cos(h)-sin(x)}/_h$\to$0.

We houden over:

.

Voor de laatste stap gebruiken we weer de standaardlimiet.
Voor cos(x) doe je net zoiets, en voor tan(x) gebruik je de quotiëntregel.

Nawoord: ik ben dank verschuldigd aan een vragensteller die op een fout wees in de eerste versie van dit antwoord. Hij suggereerde een andere manier om te laten zien dat (cos(h) - 1)/h$\to$0 voor h$\to$0:
vermenigvuldig de teller en noemer van (cos(h) - 1)/h met (cos(h) + 1) en maak gebruik van de identiteit sin²(h) + cos²(h) = 1.

Ook had hij nog een suggestie voor een alternatief: maak gebruik van de formule van Simpson voor sin(p) - sin(q) om de limiet van het differentiequotiënt te bepalen. Je hebt dan alleen nodig dat de limiet van sin(h/2) / (h/2) voor h$\to$0 gelijk is aan 1.

FvL
16-6-2004