WisFaq!

Re: Kransen van veelhoeken

Ha ontzettend bedankt!
Zelf hadden wij ook al een bewijs opgesteld, maar we vroegen ons af of dit wel voldoende was. Wij hadden:

Er is een duidelijk verschil zichtbaar tussen een even getal voor N en een oneven getal voor N. Bij een oneven getal voor N is er steeds een M te vinden zodat N - 2M = 1. Want wanneer je 1 van een oneven getal aftrekt krijg je een even getal, en een even getal is altijd deelbaar door 2, zodat er een geheel getal voor M mogelijk is. Als N – 2M =1 is er altijd een krans te maken, want dan geldt: K•1 = 2N. En is er dus een hele waarde voor K, namelijk 2 maal het aantal hoeken van de n-hoek. Hetgeen ook terug te zien is bij de voorbeelden in de tabel.

Als het getal ook nog eens een priemgetal is dan is er precies één krans mogelijk. Deze krans heeft dan 2N n-hoeken. M is dan gelijk aan ¹/₂(N - 1) met n = priem.

Wanneer N even is er altijd wel een waarde voor M te vinden waardoor N - 2M = 2. Namelijk, wanneer we N - 2M = 2 door 2 delen krijgen we: ¹/₂N – M = 1. N was even, en wanneer je een even getal met een half vermenigvuldigd krijg altijd weer een geheel getal, dus ¹/₂N is een heel getal. M moet dus een heel getal zijn, want een heel getal – 1 is nog steeds een heel getal. Hiermee is dan een krans van N n-hoeken te maken, wat ook in de bovenstaande tabel te zien is.

Het is dus makkelijker te bewijzen dan het lijkt..

Christian den Boer
15-6-2004

Antwoord

Jullie hadden het al goed gezien.

Je kunt voor je werkstuk nog een lange lijst maken met allerlei mogelijkheden voor (N,K,M). Compleet met plaatjes.

Je kunt ook stellingen formuleren over het aantal kransen bij gegeven N. Die stelling van jullie over het geval dat N priem is, is een mooi begin.

Gebruik de hoofdstelling van de rekenkunde (eenduidige ontbinding in priemfactoren).

hr
15-6-2004