WisFaq!

Hoek tussen 2 lijnen

bepaal de zijden van een vierkant als 2 overstaande hoekpunten a(3,4) en c(1,-1) tot coordinaten hebben
ik heb eerst de rico mac=5/2 dan ricovan het
vierkant hoek bc en ac=45° tg45°= (5/2-mbc)/(1+5/2*mbc)
ik zou hier volgens mijn opgave m=3/7 moeten uitkomen maar ik kom niet aan die uitkomst

san
14-6-2004

Antwoord

Hoi,

Je kunt de lengte van A tot C berekenen, die is Ö((3-1)²+(4+1)²) = Ö(4+25) = Ö(29).
Dat is de lengte van de diagonaal van het vierkant. De rechthoekzijdes noem je even x, dan moet gelden dat x²+x²=(Ö(29))² Þ 2x² = 29 Û x² = 14,5 Þ x = Ö(14,5) Þ x 3,81.
Je zou ook gebruik kunnen maken van het feit dat de diagonaal de overstaande hoeken middendoor deelt, dus teken je bij het punt C een hoek van 45° (of bij A) en vanuit A (of C) laat je een loodlijn op die lijn neer. Deze snijdt de lijn in een punt, en de afstand van C tot dat punt is de lengte van de zijde van het vierkant (of afstand van A tot dat punt).

Maar 't kan ook via de analytische meetkunde, hoewel dit zeker niet sneller gaat.
Dat m = ³/₇ kan ik wel verklaren, want de tangens van 45° is 1, dat wil zeggen dat de overstaande rechtzoekzijde even lang is als de aanliggende rechthoekzijde (in een rechthoekige driehoek dus). Dus ⁵/₂-mbc = 1 + ⁵/₂mbc Û -⁷/₂mbc = -³/₂ Û mbc = ³/₇. Dan heb je de richtingscoëfficiënt van de lijn door B (het punt krijg je door vanuit A met de klok mee te draaien) en C, maar met de vorige berekening lag via congruentiekenmerk ZHZ de driehoek ACB al vast, dus hoefde je de richtingscoëfficiënt niet eerst te berekenen.
De rico door B en C is dus ³/₇, de lijn door B en C is dus van de vorm y = ³/₇x + b, je weet dat (1,-1) hier op ligt, dus de lijn door B en C is y = ³/₇x - ¹⁰/₇.
De lijn door A op CB staat er loodrecht op, dus de richtingscoëfficiënt is -⁷/₃ (het product van de rico's is -1, als lijnen elkaar loodrecht snijden). Dus de lijn door A heeft als vergelijking y = -⁷/₃ + b, we weten dat A hier op ligt, dus (3,4) ligt erop. Dus y = -⁷/₃x + 11. De lijnen door BC, en A die BC snijdt snijden elkaar in één punt. Dit punt is het hoekpunt waar AB en CB een rechte hoek maakt. Dus als we dit punt weten, dan kunnen we de afstand van C tot dat punt berekenen en weten we de lengte van de zijde van het vierkant ook. Functies gelijkstellen levert x = 4,5 de y-waarde vind je door in één van de functies in te vullen, de y-waarde is 0,5. Vanaf (1,-1) gezien is de afstand tot (4,5;0,5) dus ((4,5-1)² + (½+1)²)^½ = ½(58)^½ en dat is 3,807886553... wat we zojuist ook al als antwoord kregen.

Groetjes,

Davy.

Davy
14-6-2004