WisFaq!

Afgeleide, absolute waarden en hoeken

Ik ben goed aan t leren voor mijn examen maar daar zijn nog een paar oefeningen die ik nie begrijp(en die we ook nie hebben gemaakt in de klas) over afgeleiden.

1.
Onderzoek de afleidbaarheid van
f(x) = ( -1 + (1/2)|x-1| + (1/2)|x+1| )² in -1 en 1.
Ik weet niet wanneer ik juist de negatieve en de
positieve moet nemen hier. Ik zit in de war . . .

Maar is de opgave bijvoorbeeld ; 1/2x + (1/2)|x| in 0.
dan heb ik daar geen problemen mee.

2.
Voor welke waarden van a snijdt de parabool y=x² +a de X-as van het Cartesiaans assenstelsel onder een hoek van 45°. Hoe kan ik dit doen?

Ik hoop dat jullie me vandaag nog kunnen helpen
anders ; WENS ME SUCCES ! ! !

Bedankt.

Naïl
13-6-2004

Antwoord

1.
Bij deze functie heb je te maken met 3 gebieden met 3 functies.

Als x-10 dus x1 dan gaat |x-1| over in (x-1)
Als x-10 dus x1 dan gaat |x-1| over in (1-x)

Als x+10 dus x-1 dan gaat |x+1| over in (x+1)
ALs x+10 dus x-1 dan gaat |x+1| over in (-x-1)

    I             II              III
----------0----------------0-----------
         -1                1 

I: f(x)=(-1+¹/₂(1-x)+¹/₂(-x-1))²=(-1+¹/₂-¹/₂x-¹/₂x-¹/₂)²=(-1-x)²=x²+2x+1
II: f(x)=(-1+¹/₂(1-x)+¹/₂(x+1))²=(-1+¹/₂-¹/₂x+¹/₂x+¹/₂)²=0
III: f(x)=(-1+¹/₂(x-1)+¹/₂(x+1))²=(-1+¹/₂x-¹/₂+¹/₂x+¹/₂)²=(-1+x)²=x²-2x+1

De vraag is nu of in de punten (-1,0) en (1,0) de grafiek mooi 'aansluit'. Dus is de linker en rechter afgeleide wel hetzelfde?

f'(-1)=0? (links f'(-1)=2x+2=2·-1+2=0; rechts f'(-1)=0)
f'(0)=0? (links f'(1)=0; rechts f'(1)=2x-2=2·1-2=0)

Dus ja... de functie is afleidbaar.

2.
y=x²+a snijdt de x-as in de punten A en B. Voor deze punten geldt:
x²+a=0
x²=-a
x=-Ö(-a) of x=Ö(-a)

De helling in zo'n punt:
f'(x)=2x
Dus:
f'(-Ö(-a))=-2Ö(-a)
f'(Ö(-a))=2Ö(-a)

Voor het linker punt geldt:
De richtingshoek is -45°
Tan(-45°)=-1
Dus:
-2Ö(-a)=-1
Ö(-a)=¹/₂
-a=¹/₄
a=-¹/₄

Voor het rechter punt geldt:
De richtingshoek is 45°
Tan(45°)=1
Dus:
2Ö(-a)=1
Ö(-a)=¹/₂
-a=¹/₄
a=-¹/₄
Conclusie: a=-¹/₄

Een heel gedoe, maar hopelijk helpt het en veel succes morgen!

WvR
13-6-2004