WisFaq!

Som meetk rij

Hallo

Er is een rechthoekige driehoek gegeven met schuine zijde = op . PL is de korte rechthoekszijde(dus |ol||pl| en |pl|loodrecht op |ol| en alpha(vanuit punt o) is een scherpe hoek.
dit was een beschrijving van de tekening.

Vanuit punt p op 1 van de benen(OP)trekt men een de loodlijn op het andere been. (dit is PL) en vanuit het voetpunt van deze (dus in L ) opnieuw de loodlijn op het eerste been(schuine zijde) . Wat is de totale lengte van alle lijnstukken als |op| = a?

Als ik de tekening zo bekijk dan zie ik alleen in dat PL= (sin a x a) maar ik weet niet wat ik meer kan doen.
antwoord = (a x sin a)/(1-cos a) .

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen. Bedankt.

ik ken al de formules bij som van rijen maar kzie gewoon nie in hoe ik de 'reden'='quotien' uit deze meetundige rij kan halen en hoe men aan die 1 - cos a kan komen.

Naïl
12-6-2004

Antwoord

Zie onderstaande tekening.

In deze tekening is ook een hoek b aangegeven. Er geldt b=90°-a, zodat sin(b)=cos(a)
Je hebt nu
PL=a*sin(a)
LP₁=PL*cos(a)
P₁L₁=LP₁*sin(b)=LP₁*cos(a)=PL*cos²(a)
L₁P₂=P₁L₁*cos(a)=LP*cos³(a)
etc
Je ziet dus dat er een meetkundige rij ontstaat met beginterm a*sin(a) en reden cos(a)
De som van een oneindige meetkundige rij met beginterm q en reden r is q/(1-r)
In dit geval levert dat dus a*sin(a)/(1-cos(a))

hk
12-6-2004