WisFaq!

Afleiding formule inhoud afgeknotte kegel.

De inhoud van een recht afgeknotte kegel is:
Inhoud=1/3$\pi$h(R²+Rr+r²)

Mijn vraag is dan hoe ze daar op komen. Normaal bereken je het door de hele kegel-afgeknotte deel, maar dit x is niks bekent.

ji song lee
12-6-2004

Antwoord

Hieronder volgt de afleiding van de formule.
Probeer maar eens of je het snapt!

Noem de hoogte van de hele kegel H.
De hoogte van de afgeknotte kegel is h, dus de hoogte van het topje is H-h.
De inhoud van de hele kegel is ¹/₃$\pi$R²H
De inhoud van het topje ¹/₃$\pi$r²(H-h)
Aftrekken levert voor de afgeknotte kegel
¹/₃$\pi$R²H-¹/₃$\pi$r²(H-h)=
¹/₃$\pi$(R²H-r²H+r²h)=
¹/₃$\pi$((R²-r²)H+r²h)

Nu moeten we gelijkvormigheid gebruiken om H in h,R en r uit te drukken.
Er geldt:
(H-h):H=r:R, dus
(H-h)R=Hr dus HR-hR=Hr
HR-Hr=hR dus H(R-r)=hR dus H=hR/(R-r).

Dit invullen in ¹/₃$\pi$((R²-r²)H+r²h) levert:
¹/₃$\pi$((R²-r²)hR/(R-r)+r²h)

Omdat (R²-r²)=(R+r)(R-r) is dit gelijk aan

¹/₃$\pi$((R+r)hR+r²h)=
¹/₃$\pi$h((R+r)R+r²)=
¹/₃$\pi$h(R²+rR+r²).

Ben je er nog?

hk
12-6-2004