WisFaq!

n-de machtswortel van n is convergente rij

hallo ,
Ik heb maandag examen wiskunde en ik had nog enkele vragen die ik graag zou begrijpen

Bewijs dat de rij Un = ndemachtswortel n convergent is door te bewijzen dat ze dalend is vanaf de 3de term en naar beneden begrensd.
ik begrijp niet hoe ik dat moet doen.
Als aanwijzing heb ik gekregen ; bewijs:
(1 + 1/n)^n als n =(groter dan of gelijk aan) 3. maar waarom?

de functie f : {x-- x² als x = -2
{x -- ax + 2 als x -2
is continu in gans R.
BEPAAL A.

dank je wel

Lisa
12-6-2004

Antwoord

Hallo Lisa,

1. U_n=ⁿÖn
Voor elke natuurlijke n geldt dat U_n positief is. Als je dan kan bewijzen dat vanaf een bepaalde n (hier n=3) de U_n daalt, dan moet hij wel convergeren.

Hoe kan je nu bewijzen dat die rij daalt? Dan moet U_n+1/U_n kleiner dan 1 zijn.

Dus (n+1)^1/(n+1)/n^1/n 1
Doe links en rechts tot de macht n(n+1) zodat je die breuken in de exponent kwijt bent:
(n+1)ⁿ/nⁿ⁺¹ 1

((n+1)/n)ⁿ n

(1 + 1/n)ⁿ n

Je kan proberen deze ongelijkheid te bewijzen, maar je hebt waarschijnlijk wel de definitie van het getal e gezien: dat is juist de limiet van dit linkerlid. Vandaar dat die ongelijkheid zeker zal gelden vanaf een bepaalde n: het linkerlid gaat naar e, terwijl het rechterlid snel groter wordt.

2. Als f continu moet zijn, mag er geen sprong zijn. Nu is duidelijk dat alleen in het punt x=-2 er een sprong kan optreden: voor x -2 heb je een lineaire functie, voor x -2 heb je een kwadratische functie; beide zijn continu. Nu moet je dus gewoon de waarde van beide functies opstellen in x=-2, en die twee gelijkstellen, dan zal er daar geen sprong of discontinuïteit zijn.

(-2)²=4
a(-2)+2=-2a+2

Dus hiermee heb je de waarde van a.

Groeten,
Christophe.

Christophe
13-6-2004