WisFaq!

Logaritmische vergelijkingen

log x² = log (2x-1)

Bestaansvoorwaarde:

x²0 en 2x-1 0
x0 2x1
x1/2

vergelijking oplossen:

x² = 2x - 1
x² - 2x = -1

en dan weet ik niet wat ik moet doen!!

en dan ook met de vergelijking

^xlog x = 3 hoe moet je die oplossen???

kimberly
11-6-2004

Antwoord

Beste Kimberly,

De existentievoorwaarde voor log(x²) is dat x²¹0, dus x¹0. Het kwadraat zorgt er immers voor dat eventuele negatieve getallen positief worden, maar log(0) is niet gedefinieerd. De existentievoorwaarde voor log(2x-1) heb je wel correct geformuleerd, en aangezien ¹/₂ groter is dan 0 is de voorwaarde voor beide logaritmes x ¹/₂.
Je bent gekomen tot x²-2x=-1, dat is juist. Maar je kunt die -1 naar het linkerlid brengen waardoor je x²-2x+1=0 krijgt, en nu kun je ontbinden in factoren (x-1)²=0, dus x=1 (2×). 1 ¹/₂ dus aan de existentievoorwaarde is voldaan. Ter controle log(1²) = log(2-1) Û log(1)=log(1) en dat is uiteraard juist.

Dan hoe je ^xlog(x)=3 moet oplossen? Wel, die kun je niet oplossen, want ^alog(a^b)=b, dus ^xlog(x¹) = 1. En dus niet 3.
Je zou hier ook achter kunnen komen door de definitie te hanteren ^alog(b)=c Û a^c=b.
Dus ^xlog(x)=3 Û x³=x, dus x³-x=0 Û x(x²-1)=0 Û x=0 of x=1 of x=-1. Maar ⁰log(0) is niet gedefinieerd, evenals ¹log(1). Negatieve grondtallen hebben slechts is enkele gevallen een betekenis en hier toevallig wel, want ^-1log(-1) = c Û (-1)^c = -1 Þ c = 1 (elk oneven getal c voldoet). Maar dat is niet 3 (maar wel het antwoord dat we zojuist al hadden).

Groetjes,

Davy.

Davy
11-6-2004