WisFaq!

Exponentiële functie - bewijs afgeleide

Even een kort vraagje.
bij f(x) = xⁿ
moet ik dus de afgeleiden bewijzen.
f'(a) = lim_a ^xn-an/_x-a
Tot hier is alles nogal duidelijk.
Maar de volgende stad begrijp ik niet zo goed.
De bruik wordt herleidt tot:
lim_a (x^n-1+ax^n-2+ ... + a^n-1=na^n-1
Dat begrijp ik niet echt. Een klein hint of wat uitleg zou zeer welkom zijn.
Dank u

Vyncke Arno
9-6-2004

Antwoord

(xⁿ-yⁿ)/(x-y) kun je herleiden tot een som van machten, namelijk x^n-1 + x^n-2y + x^n-3y²+......+y^n-1

De simpelste manier om dit in te zien is misschien het vermenigvuldigen van deze vorm met x-y.
Je zult dan zien dat vrijwel alles tegen elkaar wegvalt.
Maar probeer het anders eerst eens met iets hanteerbaars, bijvoorbeeld met (x⁵-y⁵)/(x-y).
Je krijgt als resultaat dan x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴

MBL
9-6-2004