WisFaq!

Integreren van een macht van natuurlijke logaritme

Hoi,
Wiskunde is leuk en ik ben nu aangeland, in mijn vrije tijd, bij het vinden van primitieven van natuurlijke logaritme functies.
Ik zit met het volgende probleem:

Welke primitieve hoort bij: ̣{ln^2(x)}dx

Ik heb aangenome dat je het moet doen met partiële integratie.

Het volgende geb ik geprobeert:
̣{ln(x)*{ln(x)}dx en vervolgens de productregel omgekeerd toepassen.
Uitkomst: {(x*lnx-x+c)/(ln(x)} - ̣{{x*ln(x)-x+c}/x}dx,
maar dan kom ik niet verder.

Ook heb ik geprobeert om de integraal te splitsen in factoren nl. ̣{(ln(x)+1)(ln(x)-1)}dx en vervolgens de productregel toepassen, maar ik kom er niet uit.

Wie kan mij helpen, want ik maak denk ik ergens een verkeerde gedachte kronkel.

Bedankt, groetjes Ineke

ineke
9-6-2004

Antwoord

Hallo Ineke,

Hoe je die productregel toepast is me niet meteen geheel duidelijk, maar dat het met partiële integratie moet, is zeker wel juist.

̣udv = uv - ̣vdu is dan de algemene regel.

Hier: u=ln²(x); v=x
̣ln²(x)dx = x ln²(x) - ̣xd(ln²(x))

Met d(ln²(x)) = 2ln(x)/x dx want gebruik de kettingregel en d(ln(x))=1/x

̣ln²(x)dx = x ln²(x) - ̣2ln(x) ^x/_x dx

En uit de uitwerking die je in je vraag geeft, meen ik te begrijpen dat je ̣ln(x)dx al opgelost hebt, dus dan heb je meteen de oplossing van de gevraagde integraal.

Dezelfde methode kan je gebruiken om hogere machten van ln(x) te primitiveren: je zal ̣lnⁿ(x)dx kunnen schrijven als iets waarin ̣ln^n-1(x)dx voorkomt. Je hebt nu het resultaat voor n=2, dus kan je daarmee het resultaat voor n=3 vinden, dan n=4,5,... En met wat geluk kan je zelf een algemene formule opstellen, als je het dan nog leuk vindt natuurlijk

Groeten,
Christophe.

Christophe
9-6-2004