WisFaq!

Complexe getallen en 3e graadsvergelijkingen

hallo,
ik maak een PO over 3e graadsvergelijkingen en ik wil graag weten waarom een 3e graadsvergelijkinge altijd 3 oplossingen heeft. ik weet dat dan sommige oplossingen complex zijn maar ik snap niet precies hoe dat zit.

voorbaat dank
jeroen

jeroen wieling
9-6-2004

Antwoord

Beste Jeroen,

Elk polynoom van de graad n met coëfficiënten komende uit kan ontbonden worden in exact n factoren, waardoor er exact n wortels zijn. Dat is wat de De hoofdstelling van de algebra zegt.
Dus elke derdegraadsvergelijking heeft graad = 3, en dus ook 3 wortels. Deze wortels kunnen reëel en/of complex zijn. Ook kunnen wortels samenvallen, bijvoorbeeld f(x)=x³ heeft 3 keer de wortel 0, dus x³ = (x-0)·(x-0)·(x-0).

Een voorbeeld: ontbind x³+6x in (lineaire) factoren.
x³+6x = x(x²+6). Wat zijn de wortels? De factoren gelijkstellen aan 0, dus x=0 of x²+6=0. Dus x=0 is al één wortel, maar wat doen we met x²+6=0 Û x²=-6 Û x = ±Ö(-6) Û x = ±Ö((-1)·6)Û x = ± iÖ6. Dus x = iÖ6 en x = -iÖ6 zijn ook wortels.
Dan hebben we alle wortels, en kan de functie ontbonden worden in (x-0)·(x+iÖ6)·(x-iÖ6) = x·(x+iÖ6)·(x-iÖ6).

Groetjes,

Davy.

Davy
9-6-2004