WisFaq!

Gödel en Hilbert

Yo!

Wij zijn in school bezig met een boek, daarin staat dat Gödel Hilberts standpunt heeft verworpen... maar ik begrijp dit niet goed. Hilbert zei dat er op elk wiskundig probleem een antwoord stond. Maar wat zijn de standpunten van Gödel en Hilbert?

Elk apart? En hoe heeft Gödel die dan verworpen...?

Merci

Chris
9-6-2004

Antwoord

Hilbert wilde voor elk wiskundig probleem een antwoord waarvan het bewijs binnen een bepaald formeel systeem formeel kan worden afgeleid.

Zo'n formeel systeem bestaat uit

1. een eindig of aftelbaar oneindig aantal welgevormde formules, waarvan sommige de stellingen van het systeem zijn en alle andere de niet-stellingen;
2. een overzichtelijk schema van een eindig of aftelbaar oneindig aantal beginstellingen (de axioma's);
3. 3) een overzichtelijk schema van een eindig aantal afleidingsregels waarmee uit de axioma's alle andere stellingen elk in een eindig aantal stappen kunnen worden afgeleid.

Gödel liet zien dat het formeel systeem van de rekenkunde dat werd opgesteld door Russell en Whitehead, onvolledig is: hij construeerde een welgevormde formule van dat systeem waarvan men inziet dat die een rekenkundige waarheid uitdrukt die echter niet binnen het systeem formeel kan worden afgeleid.

Alle andere systemen van vergelijkbare omvang en rijkdom vertonen datzelfde manco.

Zie https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/ voor levensbeschrijvingen van de hierboven genoemde personen.

hr
10-6-2004