WisFaq!

Algebraische bepaling van een doorsnede

gegeven:
4 coordinaten (x en y) van een vierhoek
1 coordinaat en een straal r van een cirkel
gevraagd:
Stel een of meerdere formules op om te bepalen of de vierhoek en de cirkel een doorsnede hebben. Stel de formules zo op dat je ze kan toepassen in een computerprogramma.

Grafisch oplossen van bovenstaande vraag is makkelijk. Alleen algebraisch lukt het me niet. Wie helpt??? Succes!

Mathijs
1-6-2004

Antwoord

Dag Mathijs,

Ik vrees dat dit geen elegante formule wordt.
Ik ga er van uit, dat het om een convexe vierhoek gaat.
Je zou het als volgt kunnen doen:
Noem de punten van de vierhoek: A, B, C en D, en de bijbehorende vectoren a, b, c en d
Noem het middelpunt van de cirkel M, en de straal r.
Een vector v met eindpunt V op zijde AB is te schrijven met behulp van een parameter l tussen 0 en 1:
v = la + (1-l)b
Daarmee kun je de afstand van V tot M uitdrukken in l.
Bereken de waarde van l waarvoor het kwadraat van deze afstand minimaal is (simpele tweedegraads uitdrukking).

Bedenk wel dat l tussen 0 en 1 ligt!
Als nu het kwadraat van deze minimale afstand kleiner of gelijk is aan r², dan weet je zeker dat er geen lege doorsnede is.
Dit kun je doen voor de vier zijden.
Als al deze gekwadrateerde afstanden groter zijn dan r², dan is nader onderzoek nodig.
Het geval dat dan namelijk nog overblijft, is: de cirkel valt helemaal binnen de vierhoek.
Dit geval kun je onderzoeken met behulp van een stel determinanten.

Je moet dan vier zaken onderzoeken:

1. Ligt M aan dezelfde kant van AB als C
2. Ligt M aan dezelfde kant van BC als D
3. Ligt M aan dezelfde kant van CD als A
4. Ligt M aan dezelfde kant van DA als B

Alleen als het antwoord op al deze vragen Ja is, dan ligt M binnen de vierhoek.
Voor het antwoord op deze vragen met behulp van determinanten, verwijs ik naar Oriëntatie van een hoek
groet,

Anneke
1-6-2004