WisFaq!

Het bepalen van de extremen van een functie van twee variabelen

Onze leraar vroeg ons een overzicht te geven voor het bepalen van de extrema bij een functie z=f(x,y)? Nu moet ik eerlijk bekennen dat ik hier geen weg mee weet, zouden jullie me nog es kunnen helpen aub, bedankt!

Tamara
30-5-2004

Antwoord

Stel dat je de extremen van f, met als domein een gebied G, moet bepalen. Je kunt dan het volgende schema gebruiken (niet alle stappen zijn altijd nodig of realiseerbaar):

0. Maak een schets van het gebied G en van een voldoende groot aantal hoogtelijnen van f (je moet een indruk krijgen van de grafiek van f, maar houd het wel overzichtelijk).
   
   
1. Bepaal de kandidaten in inwendige punten van G (dat zijn punten van G zo dat alle punten binnen een cirkeltje rond dat punt ook tot G behoren).
   Deze kandidaten zijn:
   
   1. de (inwendige) punten waar f niet differentieerbaar is (dat zijn tevens de punten waar je geen raaklijn kunt trekken aan de hoogtelijn door dat punt);
      
   2. de stationaire punten (dat zijn de punten waar de partiële afgeleiden f_x en f_y beide 0 zijn, dus zo dat het raakvlak in (x,y,f(x,y)) aan de grafiek van f horizontaal is).
   
   
2. Bepaal de kandidaten in randpunten van G (dat zijn de niet-inwendige punten van G).
   Deze kandidaten zijn:
   
   1. de (rand)punten waar f niet differentieerbaar is;
      
   2. de punten van Lagrange (als de randpunten van G gegeven worden door g(x,y)=0 met eventueel nog meer restricties, dan zijn dit de randpunten van G waar de raaklijn aan g(x,y)=0 samenvalt met de raaklijn aan de hoogtelijn van f door dat punt, dus waar naast de restricties geldt f_xg_y=f_yg_x);
      
   3. spitse punten op de rand van G (punten op de rand waar g niet differentieerbaar is, of eindpunten van de rand).
   
   
3. Om te bepalen in welk van de gevonden kandidaten werkelijk een extreem optreedt, zijn er verschillende methoden:
   
   1. maak een tekenoverzicht van f (als f in een stationair punt van teken wisselt, is het bijbehorende punt op de grafiek een zadelpunt);
      
   2. let op het verloop van de functiewaarden horende bij de geschetste hoogtelijnen in de buurt van het kandidaatpunt;
      
   3. gebruik de stelling van Weierstrasz op deelgebieden van G (een continue functie heeft op een compacte verzameling altijd een absoluut maximum en een absoluut minimum);
      
   4. gebruik de stelling van Hesse (berekening van de Hessiaan in stationaire punten), maar dit geeft vaak geen uitsluitsel;
      
   5. beschouw krommen die door het kandidaatpunt gaan (als de restricties van f tot zulke krommen de ene keer maximaal is in dat punt en de andere keer minimaal, is het een soort zadelpunt);
      
   6. bereken de gradiënt (f_x,f_y) in het kandidaatpunt (f neemt maximaal toe in de richting van de gradiënt).
   
   
4. Onderscheid ten slotte tussen globale (absolute) en
   relatieve extremen.

hr
3-6-2004