WisFaq!

Octaëder

hier ben ik weer, met een probleem.
de opgave:

gegeven is een octaëder met hoekpunte a,b,c,d,e,f en de lengte van de ribben is 2. De ligging van de punten is zo dat de acht zijvlakken eab, ebc, ecd, eda en fab, fbc, fcd, fda gelijkzijdige driehoeken zijn met zijde 2. abcd neem ik als punten van een vierkant, dit is zeker goed. Noem m,n de middens van de lijnstukken eb, ec en p,q de middens van fa en fd.
vragen:
1. Toon aan dat m,n,p,q in een zelfde vlak alfa liggen
2. Toon aan dat de vlakken eda en fbc parallel zijn met alfa
3. welkis de convexe figuur die ontstaat door de punten van de octaëder orthogonaal te projecteren in het vlak alfa(zeer nauwkeurig argumenteren)
4. wat is de oppervlakte van de in (3.) gevonden figuur

Dit is de opgave. Het is moeilijk om in dit regelmatig achtvlak aan te tonen dat deze middens in hetzelfde vlak liggen. Vlakken is precies niet mijn sterkste kant. HEt is een oef uit voorbereiding die ik moet maken maar deze oefening ligt me echt niet. dus ik heb een beetje hulp nodig. de tekeningen die ik uitvoerde gaan in de buurt maar het lukt me niet om de bewijzen hiermee te vormen. Jammer ook dat je hier geen tekening kan opzetten.

Alvast bedankt voor de moeite

davy
26-5-2004

Antwoord

Dag Davy,

De eerste vraag is toch niet zo moeilijk.
Het is duidelijk dat mn parallel is met bc (middenparallel van een driehoek), en dat pq parallel is met da.
Aangezien bc en da ook onderling parallel zijn, is mn dus parallel met pq, waarmee aangetoond is dat ze in een vlak liggen.
Kijk hier voor mooie plaatjes, waarbij je de octaëders kunt draaien, en waar bijvoorbeeld ook een mooie tekening (onderaan) staat van een doorsnede van een octaëder met een kubus. Hier kun je de middens van de ribben ook mooi zien zitten.
Voor vraag 2 kun je handig met vectoren werken.
Omdat de ribbelengte 2 is, kun je het volgende assenstelsel kiezen:
a(Ö2, 0, 0)
b(0, Ö2, 0)
c(-Ö2, 0, 0)
d(0, -Ö2, 0)
e(0, 0, Ö2)
f(0, 0, -Ö2)
Hiermee kun je de coördinaten van m, n, p en q berekenen, en dus de normaalvector van vlak a.
Het aantonen dat a parallel is met eda en met fbc is dan eenvoudig.
Bij vraag 3 kun je gebruik maken van wat je zojuist hebt aangetoond. De gevraagde convexe figuur is juist het 'bovenaanzicht' van de octaëder, als je deze niet op zijn punt zet, maar op een van de zijvlaksdriehoeken, bijvoorbeeld eda. Omdat eda parallel is met a, wordt de gelijkzijdige driehoek eda bij orthogonale projectie op a juist als (congruente) gelijkzijdige driehoek afgebeeld, en fbc dus ook. Het resultaat is dus een regelmatige zeshoek, met zijde gelijk aan 2.
Hiervan de oppervlakte berekenen is dan ook niet zo moeilijk meer.
groet,

Anneke
2-6-2004