WisFaq!

Oefening op meetkunde

De vraag is redelijk eenvoudig maar toch lukt het me niet.nl.
Zij abc een willekeurige driehoek met k= ab, l= bc, m= ca. uit a en b neemt ge dan de loodlijnen ad en be op de zijden bc en ca. Je noemt R en r de straal van de omschreven cirkel van resp driehoek abc en driehoek dec. Druk de verhouding r/R uit als functie van enkel k,l,m.

Hoe moet je hier die stralen bekomen. moet je dan via pythagoras werken om die loodlijnen te vinden en met 2/3 van de loodlijn nemen voor de straal?
Willen jullie de werkwijze eens tonen zodat ik toch weet hoe het in zijn gang gaat.
alvast merci

davy
26-5-2004

Antwoord

dag Davy,

Zo eenvoudig vind ik dit niet. Maar wel mooi!

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Uit de gelijkheid van de aangegeven hoeken (en nog wat meer van dergelijke paren hoeken) kun je concluderen:
$\Delta$abc is gelijkvormig met $\Delta$dec.
Als je nu de vermenigvuldigingsfactor kun vinden, ben je klaar. De verhouding van r en R is immers gelijk aan de verhouding van bijvoorbeeld cd en ac(=m).
Deze verhouding kun je als volgt berekenen:
A is de oppervlakte van $\Delta$abc
ad·bc = 2A, dus ad = 2A/l
Hieruit volgt (met Pythagoras):
cd = √(m² - 4A²/l²)
dus
cd/m = √(1 - 4A²/(l²·m²))
Hiermee is je gezochte verhouding bekend.
Ik neem aan dat je weet hoe je de oppervlakte A kunt uitdrukken in k, l en m.
groet,

Anneke
28-5-2004