WisFaq!

Uitzetting verloop van een kromme

Hallo, ik zit vast bij een oefening uit mijn cursus meetkunde:

Gegeven is de kromme a(t) = (a.cos(t), b.sin(t)), met a b 0. Dus een ellips.

Nu zou ik het verloop van a in functie van t moeten uitzetten, maar ik weet niet hoe ik dit kan doen voor zo'n parametrisatie. Ook wordt er gevraagd om de grootste en kleinste krommingen van a te zoeken, en deze te verifiëren op een schets.

De kromming wordt gegeven door de formule:
K = det(a' a'')/||a'||³ en is dus in dit geval gelijk aan:
K = (a.b)/((a² - b²).sin²(t) + b²)^3/2

Ik hoop dat u mij kan helpen.

Mvg,

Tom

Tom
24-5-2004

Antwoord

dag Tom,

Voor het uitzetten van a kun je gewoon de parameter t laten lopen van 0 tot 2p, en de bijbehorende x- en y-waarden uitrekenen en uitzetten. Het resultaat is inderdaad een ellips.
Dan de kromming.
Ik kende de formule niet, maar de berekening is in ieder geval correct.
Aan de uitgewerkte vorm kun je vrij eenvoudig zien wat de invloed van t is.
Hoe groter de noemer, hoe kleiner de waarde van K
Omdat a=b wordt de noemer groter als sin²(t) groter wordt.
De kleinste waarde van K ontstaat als sin²(t) = 1,
dus als t=^p/₂ of t=^3p/₂
De grootste waarde van K ontstaat als sin²(t) = 0,
dus als t=0 of t=p
Dit komt overeen met je waarneming: in die punten is de kromming van de ellips het sterkst.
Groet,

Anneke
28-5-2004