WisFaq!

Re: Legendre-relatie

Hallo Christophe,

Heel erg bedankt voor je uitleg, alles was duidelijk.Graag wilde ik nog iets bewijzen over de functie Z(z):

Ik wil laten zien dat Z(z-a)-Z(z-b) een elliptische functie is met periodenrooster L en enkelvoudige polen in amodL en bmodL. Er geldt a en b in C en a-b niet gelijk aan zmodL.

Groeten,

Viky

viky
24-5-2004

Antwoord

Hallo,

Bewijzen dat iets een elliptische functie is, is gewoon bewijzen dat je dubbele periodiciteit hebt. Je kan hierbij natuurlijk steunen op het feit dat Z(z) daaraan voldoet.

M.a.w.: Z(z)=Z(z+w) voor elke w in je tralie.

Wat je dus wil bewijzen is dat
Z(z-a)-Z(z-b) = Z(z+w-a)-Z(z+w-b) voor elke w in je tralie.

Je weet nu echter dat Z elliptisch is, dus Z(x)=Z(x+w)
Kies x=z-a, dan staat er Z(z-a)=Z(z-a+w). Doe hetzelfde voor b, dan is dat voldoende om te bewijzen dat je functie elliptisch is, met hetzelfde perioderooster L.

Waar zitten de polen? Wel, voor elke Z-term is er één enkelvoudige pool per parallellogram. De pool is altijd het roosterpunt: z=0 is een pool van Z(z). Wat kan er dan gebeuren als je Z(z-a) gaat bekijken? Wel, logischerwijs heb je dan één enkelvoudige pool, en die ligt in z=a(modL). En voor Z(z-b) ligt de pool in z=b(modL).

Als je nu die twee van elkaar gaat aftrekken, kan je geen extra polen invoeren, dus de enige mogelijke polen zijn a en b (modL). Wat wel zou kunnen gebeuren is dat de twee polen elkaar juist opheffen. Als a=b (modL) zou dit gebeuren: dan heb je Z(z-a)-Z(z-a)=0 voor elke z. En dat heeft dus geen polen meer.

Maar er is gegeven dat a-b niet gelijk aan z modL... Tiens, moet dan niet zijn "a-b niet gelijk aan 0 modL"? In dat laatste geval heffen de polen elkaar zeker niet op, en kan je dus correct besluiten dat de functie elliptisch is met rooster L en enkelvoudige polen in a en b (modL).

Groeten,
Christophe.

Christophe
24-5-2004