WisFaq!

Doorsnede van een vlak met een kubus

opgave
-------
Zij a een vlak gaande door het middelpunt O van een kubus c met ribbe L, zo dat a loodrecht staat op een ruimte-diagonaal van c. Zij m de figuur die onstaat door de doorsnede te nemen van a en c:

(i) Welke meetkundige figuur is m?
(ii) Bereken de oppervlakte van m.

Mijn vraag
-----------
Ik zit een beetje in de knoei met het construeren van die doorsnede. Ik heb reeds iets geprobeerd:



Maar zijn de groene lijnen die ik getrokken heb in het boven- en ondervlak wel juist?
Kortom is mijn constructie juist?

Die opp. bereken ben ik nog niet aan begonnen (want zonder juiste constructie is dit onbegonnen werk) Maar ik veronderstel dat dit gewoon wat spelen met driehoeken is.

mvg,

bert

bert
23-5-2004

Antwoord

Hallo Bert,

Nee, jouw constructie klopt niet helemaal.
Neem als grondvlak ABCD en als bovenvlak EFGH, met E boven A, F boven B, etc.

O is het snijpunt van de lichaamsdiagonalen AG en EC.
Maak een tekening van rechthoek ACGE. Hier heeft AC lengte L√2, en AG lengte L√3. Maak ook een tekening van vierkant ABCD.

Het vlak $\alpha$ door O loodrecht op AG snijdt ACGE in een lijn door O loodrecht op AG, en snijdt AC in S zo dat AS=²/₃L√2.

Construeer S in beide tekeningen ACGE en ABCD.
Het vlak $\alpha$ snijdt ABCD volgens de lijn door S loodrecht op AC, en snijdt BC dan in het midden van BC, en CD in het midden van CD.

Nu kun je inzien dat $\alpha$ ook door het midden van EF en het midden van EH gaat. En vervolgens dat $\alpha$ ook door het midden van BF en door het midden van DH gaat.

De doorsnede is een regelmatige zeshoek met zijde ¹/₂L√2. De hoeken van de zeshoek zijn elk 120 graden.

Je kunt dan, inderdaad mbv driehoeken, uitpuzzelen dat de oppervlakte van de zeshoek ²/₃L²√3 is.

hr
24-5-2004