WisFaq!

Oplossen van vergelijkingen met onbekende exponent

Hallo,

Ik zit in 3vwo en in mijn boek staat een opgave. Je krijgt een tabel en dan moet je zeggen of er sprake is van expotientiele groei en de formule geven.

De formule wordt: N=800·1,35^t.

Dan komen er nog een paar vragen, maar die zijn niet zo moeilijk, dus...

Maar dan komt de vraag: voor welke t is N voor het eerst meer dan 100000? In mijn boek gaan ze er van uit dat je dat oplost door te proberen. Omdat het geen grote getallen zijn, kan dat makkelijk. Ook weet ik dat je het met je grafische rekenmachine kan doen. Maar nu wil ik graag weten hoe je het oplost, zonder uit te probreren en zonder het grafische deel van je rekenmachine, alleen met het basisscherm. Dus algebraïsch, maar wel dat je als antwoord 16,09 = dus 17 krijgt.

Ik had het al aan mijn wiskundelerares gevraagd, maar die vond het te moeilijk om even uit te leggen en vond dat we dan te veel van het hoofdstuk afdwaalden. Dus dacht ik, laat ik het hier proberen...

Johanneke
22-5-2004

Antwoord

Goede vraag! Het komt in principe neer op het oplossen van de vergelijking:

800·1,35^t=100.000

Deze vergelijking kan je oplossen op de 'normale' manier. Dus...

1,35^t=125

..en dan loop je vast. Hoe doe je dat 'normaal'? Ik zal wat voorbeelden geven:

4t=100: delen door 4, de omgekeerde bewerking van maal 4
t²=100: de wortel(s) nemen, de omgekeerde bewerking van kwadraat

Kortom: is er een omgekeerde bewerking van de 'exponentiele bewerking'?

Je begrijpt die bewerking is er wel. Dat is namelijk de logaritme. Een voorbeeld:

Als $t=4$ dan is $10^t$ gelijk aan $10.000$. Als $N=10.000$ dan is $\log(N)$ gelijk aan $4$. Je ziet $\log(...)$ is de inverse bewerking van $10^{...}$.

Over de logaritme kom je in de rest van het wiskundeprogramma nog vast het een en ander te weten. Je kunt deze logaritme gebruiken om ook problemen als hierboven op te lossen:

$
\eqalign{
& 1,35^t = 125 \cr
& \log \left( {1,35^t } \right) = \log \left( {125} \right) \cr
& t \cdot \log \left( {1,35} \right) = \log \left( {125} \right) \cr
& t = \frac{{\log \left( {125} \right)}}
{{\log \left( {1,35} \right)}} \approx {\text{16}}{\text{,1}} \cr}
$

Dus bij t=16 nog net niet, bij 17 dus wel, zoals je al zei. Uiteraard valt er nog veel meer over te zeggen (en van te begrijpen!), maar voorlopig kan je hier misschien mee verder. Hoewel niemand je tegen houdt om er eens een wiskundeboek op na te slaan...

WvR
22-5-2004