WisFaq!

Twee stellingen over natuurlijke getallen

We zitten in de knel met onze PO. We hebben twee stellingen die we moeten bewijzen. We denken dat deze onjuist zijn, maar onze docente had gezegd dat ze wel juist is. We weten niet wat er fout is aan onze bewijzen. Kunt u zeggen wat er fout is en hoe we het goed moeten doen? Op de site hadden we het ook niet kunnen vinden.

Alvast bedankt,

Lars Peters.

1. Bewering: Een natuurlijk getal n=(ck¹/₂ck-1¹/₂….¹/₂c1¹/₂c0) is deelbaar door 7, 11 of 13 dan
en slechts dan als (ck¹/₂ck-1¹/₂….¹/₂c4¹/₂c3) – (c2¹/₂c1¹/₂c0) deelbaar is door 7, 11 0f 13.
Deze bewering is onjuist. Om het wat beter voor te stellen vullen we een willekeurig getal n in.
n=567341
567341 is deelbaar door 7, 11 of 13 dan en slechts dan als 567000 – 341 is deelbaar door 7, 11 of 13
Van 567000 weet je dat het een geheel veelvoud is van 1000. 1000 is niet deelbaar door 7, 11 of 13, maar 1001 wel. Dat betekent dat (c2|c1|c0) + 1 deelbaar moet zijn door 7, 11 of 13, opdat 567000- 341 deelbaar is door 7, 11 of 13. En andersom geldt dit ook.
Het getal n kun je ook zien als 567000+341. Hierbij geldt dat (c2|c1|c0) – 1 deelbaar moet zijn door 7, 11 of 13
(c2|c1|c0) + 1 en (c2|c1|c0) – 1 kunnen niet beiden deelbaar zijn door 7, 11 of 13
Met andere woorden: als (ck¹/₂ck-1¹/₂….¹/₂c1¹/₂c0) deelbaar is door 7, 11 of 13, dan is zeker dat (ck¹/₂ck-1¹/₂….¹/₂c4¹/₂c3) – (c2¹/₂c1¹/₂c0) niet deelbaar is door 7, 11 0f 13.

2. Bewering: voor elk tweetal natuurlijke getallen n en k met kn is het getal n x (n-1)
x (n-2) x …x (n-k+1) deelbaar door k!=k x (k-1) x …x 2 x 1.
Deze stelling klopt niet. Als je voor n bijv. 6 neemt is en voor k 3, dan krijg je:
6x5x4/3x2x1=2.03738… Omdat dit geen geheel getal is, klopt de stelling niet

Lars Peters
19-5-2004

Antwoord

Hoi Lars,

Je docente heeft helemaal gelijk als ze zegt dat bovenstaande beweringen juist zijn. Hier volgt waar jullie je in vergissen:

1. Hierbij hebben jullie de bewering zelf niet helemaal goed begrepen:
de bewering is dat n = (c_k|c_k-1|...|c₂|c₁|c₀) deelbaar is door 7, 11 of 13 desda
(c_k|c_k-1|...|c₃) - (c₂|c₁|c₀) deelbaar is door 7, 11 resp. 13.
Dus niet: desda (c_k|c_k-1|...|c₃|0|0|0) - (c₂|c₁|c₀) dat is. In jullie voorbeeld: 567341 is deelbaar door 7, 11 of 13 desda 567-341=226 dat is. Jullie zijn overigens met de opmerking dat 1000 niet, maar 1001 wel deelbaar is door 7, 11 en 13 al een heel eind op weg naar het bewijs...

2. Dit is gewoon een rekenfout: (6·5·4)/(3·2·1)=120/6=20. Overigens, is het getal n!/(n-k)!/k! geen goede bekende?

Veel succes,

Guido Terra

gt
19-5-2004