WisFaq!

Euler en Heun methode

Bereken y(0.5) mbv Euler en Heun voor h=0.1 en h=0.05
Van y' = e^-x waarbij y(0)=0

Ik heb deze methode opgezocht op internet en daar word ik niet veel wijzer van. Dit komt omdat alles opgelost wordt met het rekenprogramma MATLAB.

Mijn vraag is of ik deze opgave met deze methode ook met pen en papier kan oplossen en zo ja hoe dat dan precies gaat.

Alvast bedankt!

Bram Naardin
16-5-2004

Antwoord

dag Bram,

Inderdaad kan deze opgave ook met pen en papier opgelost worden.
Eerst de methode van Euler.
Deze is gebaseerd op de iteratieve formule:
y_n+1 = y_n + h·f(x_n,y_n)
waarbij h de gekozen stapgrootte is, en f(x,y) het rechterlid van de differentiaalvergelijking. Dit rechterlid is in het algemeen een functie van x en y, maar in jouw voorbeeld is het alleen een functie van x.
Met x_n wordt de n-de waarde van x bedoeld.
Deze wordt eenvoudig berekend door steeds de stapgrootte h bij de vorige x op te tellen.
Met y_n wordt de n-de waarde van y bedoeld, dus niet y(n), maar y(x_n)
Noem de beginwaarden van x en y: x₀ en y₀
We weten:
x₀ = 0 en y₀ = 0

Dan is
x₁ = h
y₁ = y₀ + h·exp(-x₀) = 0 + h·1 = h

x₂ = 2h
y₂ = y₁ + h·exp(-x₁) = h + h·exp(-h)
Nu wordt het tijd om voor h een waarde te kiezen, bijvoorbeeld 0.1, en deze in te vullen om een numerieke waarde voor y₂ te krijgen

Zo kun je doorgaan.

Het rijtje wordt (bij h = 0.1):

x	y
0	0
0.1	0.1
0.2	0.190483742
0.3	0.272356817
0.4	0.346438639
0.5	0.413470644
0.6	0.47412371
0.7	0.529004873
0.8	0.578663404
0.9	0.6235963
1	0.664253266

De methode van Heun is een verfijning van deze methode.
Per stap maak je een extra tussenberekening.
De x loopt weer gewoon met stapgrootte h op.
Per stap bereken je eerst een zogenaamde predictor-waarde voor y:
yp = y_n + h·f(x_n,y_n)
vervolgens bereken je
y_n+1 = y_n + (h/2)·(f(x_n,y_n)+f(x_n+1,yp))
Het resultaat wordt:

x	yp		y
0	0		0
0.1	0.1		0.095241871
0.2	0.185725613	0.181420279
0.3	0.263293355	0.259397728
0.4	0.33347955	0.329954641
0.5	0.396986646	0.393797177
0.6	0.454450243	0.451564292
0.7	0.506445455	0.503834139
0.8	0.553492669	0.551129852
0.9	0.596062748	0.593924783
1	0.634581749	0.632647238

Ik hoop dat een en ander duidelijk is geworden.
groet,

Anneke
18-5-2004