WisFaq!

Bewijs bij Normale Verdelings Functie

Beste mede-beantwoorder,

Goed loop weer eens vast en hoop dat iemand me kan helpen

Onlangs verdiepte ik me weer eens in mijn eigen stof (elementaire Statistiek) die ik les geef en legde mezelf een probleem voor. Dat had ik natuurlijk beter niet kunnen doen, maar goed ik kwam niet uit twee zaken.

Het betreft de Normale verdeling.

De functie de de klokvorm beschrijft is:

e^(-(x-m)²/(2·s²)) / (s·√(2·$\pi$))

Hierin is m het gemiddelde en s de standaard deviatie.
Een kans op P(y of meer) is dan te bepalen door het gebied onder de klok-vorm te berekenen, ofwel:

$\int{}$e^(-(x-m)²/(2·s²)) / (s·√(2·$\pi$)) dx, x=y..$\infty$

In een Standaard Normale Verdeling geldt dat gem.=0 en s=1 ofwel een kans in deze verdeling als P(z of meer) is te berekenen door middel van:

$\int{}$e^(-x²/2) / (√(2·$\pi$)) dx, x=z..$\infty$

Het is eenvoudig aan te tonen dat het 'verschuiven' van het gemiddelde bij een Normale Verdeling naar 0, en met dezelfde waarde 'y' verplaatsen geen invloed heeft op het oppervlak onder de curve en dus ook niet op de kans (y-gem).
Echter om een probleem in een Normale Verdeling te 'vertalen' naar eenzelfde probleem in de Standaard Normale vorm, gebruiken we: z=(y - gem)/s.

Mijn probleem is nu hoe ik algebraisch kan bewijzen dat de deling door s ook geen invloed heeft op het oppervlak onder de curve?

Om het probleem dus wiskundig te noteren:

Gegeven een Normale Verdeling met (rekenkundig)gemiddelde = 0 en standaard deviatie = s, dan is de kans P(y of meer) gelijk aan:

$\int{}$e^(-x²/(2·s²)) / (s·√(2·$\pi$)) dx, x=y..$\infty$

Bewijs dat dit gelijk is aan:

$\int{}$e^(-x²/2) / (√(2·$\pi$)) dx, x=y/s..$\infty$

Mijn kennis betreffende integralen is redelijk weggezakt en ik vermoed dat misschien de voorwaarde dat y$>$gem. erbij moet staan om sowieso het probleem op te kunnen lossen.
In woorden is het eenvoudig uit te leggen dat de afstand van het getal tot het gemiddelde in dezelfde verhouding moet blijven in de Standaard Normale vorm, maar dit is natuurlijk niet sluitend.

Mijn tweede vraag betreft het algebraisch oplossen van de Standaard Normale Integraal Functie. Op mathworld las ik al volgens mij dat dit niet kan, maar hoe je dit weer kan bewijzen is mij een raadsel. Misschien is deze tweede vraag wel erg ingewikkeld en zal ik al erg tevreden zijn met misschien een literatuur verwijzing.

Als laatste dan nog een kleinigheidje...Weet iemand waarom we de letter 'z' gekozen is om de standardisatie functie (z=(y-gem)/s) te noteren?

Alvast zoals altijd erg bedankt voor elke reactie.

M.v.g.
PHS

Peter
14-5-2004

Antwoord

Hoi Peter,

To put it bluntly, de eerste vraag: het omzetten van de algemene verdeling naar standaard-normaalvorm is niets meer dan de substitutie xi=x/s, of x=s*xi (even de dummy-variabele xi introducerend). In de minder nette, maar gebruikelijke notatie is dan dx = s*dxi, de integrand gaat op de juiste manier over, en de grenzen worden aangepast. Het volledige bewijs van de substitutie-stelling uit de definitie via Riemann-sommen vergt nogal wat afschatwerk, maar komt, zoals hk al zegt neer op de constatering dat de benaderende "staafjes" s keer zo breed en 1/s keer zo hoog worden.

Wat je tweede vraag betreft: dit is volgens mij het meest bekende voorbeeld van een functie waarvan de primitieve niet in (als som, product, quotient, macht of samenstelling van)elementaire functies is uit te drukken. Zelf zou ik hier ook wel graag eens een bewijs van willen zien, dus vroeg ik het laatst aan Professor Duistermaat (tegen (of over) de pensioenleeftijd aan de UU). Deze man heeft een werkelijk fenomenale bagage aan kennis op het gebied van de analyse, maar zelfs hij heeft nooit echt het bewijs hiervan gezien. Als hij onze nieuwsgierigheid al niet kan bevredigen, dan zal het erg moeilijk worden...

Wat het laatste kleinigheidje betreft: gk merkt erover op dat het wellicht met "zero" te maken heeft.
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

gt
19-5-2004