WisFaq!

Wat is de contractiestelling?

Hoi beste 'helper',

Ik heb problemen met een onderwerp wat te maken heeft met rijen en functies. Het logisch beredeneren, of dat een rij al of niet bij een gegeven startwaarde etc. convergeert, is nog wel begrijpelijk, vind ik, maar het gebruik maken van de contractiestelling (voor de situaties waarin het minder makkelijk te beredeneren is) snap ik niet echt.
Zou je me in het kort uit kunnen leggen op welke manier je vragen over contractie dan wel convergentie het beste aan kunt pakken, daarbij betrekkende de contractiestelling, want ook die moeten wij kennen over een paar weekjes.

In ieder geval alvast bedankt,

Frank

Frank
13-5-2004

Antwoord

De contractiestelling voor lineaire functies luidt:
De rij u_n gegeven door u_n+1=f(u_n) met f(x)=ax+b convergeert als |a|1.
Hieronder enkele voorbeelden:







Voor niet lineaire functies ligt dat ingewikkelder.
In ieder geval kun je stellen dat als in het dekpunt geldt |f'(x)|1 er een omgeving van dit dekpunt bestaat waarvoor de rij convergeert.
Het beste manier is dan:
-Bereken alle dekpunten.
-M.b.v. de berekende dekpunten kun je het domein van f dan verdelen in intervallen waarvoor de rij dezelfde convergentie of divergentie vertoont. Dit onderzoek voor je het handigst uit met behulp van webgrafieken.
Als je meer uitleg wilt hebben hoe, kun je beter met een concrete vraag komen (een opgave dus).

hk
13-5-2004