WisFaq!

Kansverdeling bij een kaartspel (binomiaal-verdeling)

Hoihoi,
hier mijn vraag:
Iemand trekt driemaal met teruglegging een kaart uit een volledig kaartspel. Het aantal tienen wordt T genoemd. Geef de kansverdeling van 10.

Bij andere sommen lukte het me wel gewoon om een kansverdeling te maken. Maar ik ben hier nu al een tijdje mee bezig en ik kom steeds op het verkeerde antwoord...
Groetjes Annika

Annika
12-5-2004

Antwoord

Hoi Annika

je moet dit beschouwen als een samengesteld experiment. Drie maal achter elkaar een kaart trekken. De 2de trekking wordt bvb. niet beïnvloed door de 1ste, omdat men teruglegt. Een samenstelling van 3 keer hetzelfde experiment (onafhankelijke deelexperimenten).

Telkens je een kaart trekt noem je 'succes' de uitkomst dat je een 10 trekt en 'mislukking' indien niet.

P('succes') = ⁴/₅₂
P('mislukking') = 1 - P('succes') = ⁴⁸/₅₂

Welnu, de toevalsveranderlijke X_i (of stochastische veranderlijke ) 'hoeveel tienen'; kan 4 waarden aannemen. Namelijk 0 tienen; 1 tien; 2 tienen en 3 tienen.

P(X_i=0) = (⁴⁸/₅₂)³ (eigenlijk: 3 maal mislukking; productregel door 'onafhankelijke deelexperimenten')

P(X_i=1) = 1 keer 'succes' én 2 keer 'mislukking'
maar wanneer dat 'succes'? 3 mogelijkheden (eigenlijk aantal combinaties met n=3 en k=1).
Dus = 3.⁴/₅₂.(⁴⁸/₅₂)²

P(X_i=2) = 2 keer 'succes' én 1 keer 'mislukking'
maar bij welke trekkingen dat 'succes'? Aantal combinaties met n=3 en k=2 (wat ook 3 is -zie combinatieleer-)
Dus = 3.(⁴/₅₂)².⁴⁸/₅₂

Tot slot: P(X_i=3) = alle 3 keer 'succes'.
Dus = (⁴/₅₂)³

Meteen heb ik je de binomiaal-verdeling uitgelegd. Handig voor het geval je 4, 5 of 27 keer een kaart zou willen trekken

Frank

FvE
12-5-2004