WisFaq!

De stelling van Miquel

Wij zijn op dit moment bezig met het bewijzen van erg veel stellingen. Omdat wij onze leraar niet erg goed snappen en graag een voorbeeld willen zien door iemand anders uitgelegd hebben wij een vraag. Hoe bewijs je de stelling van Miquel? Wij nemen aan dat jullie die kennen anders kunnen we het probleem ook wel uitleggen.
Met vriendelijke groet

Rik Schepper
12-5-2004

Antwoord

Ik ga er vanuit dat je deze stelling bedoelt:
Op de zijden van driehoek ABC liggen de punten P Q en R.
De punten A,P en R bepalen een cirkel c₁ en de punten B, Q en P bepalen een cirkel c₂. Deze twee cirkels snijden elkaar binnen de driehoek in een punt S. De punten C, R en Q bepalen een cirkel c₃
Bewijs dat ook cirkel c₃ door S gaat.
Zie onderstaand Cabri bestand (je kunt dus punten verslepen!)

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Bewijs:
vierhoek APSR is een koordenvierhoek, dus
$\angle$RSP+$\angle$A=180°, dus $\angle$RSP=180°-$\angle$A. (1)
Analoog: $\angle$QSP=180°-$\angle$B. (2)
Uit (1) en (2) en $\angle$RSP+$\angle$QSP+$\angle$RSQ=360° volgt dan:
180°-$\angle$A+180°-$\angle$B+$\angle$RSQ=360°, dus
$\angle$RSQ=$\angle$A+$\angle$B.
$\angle$RSQ+$\angle$C=$\angle$A+$\angle$B+$\angle$C=180° (hoekensom driehoek).
Dus vierhoek RSQC is een koordenvierhoek, dus gaat c₃ door S.

hk
12-5-2004