WisFaq!

Cirkelintegraal

₀ò⁸(8x-x²)dx=8

Hoe kom ik aan deze oplossing?
dank bij voorbaat

tim
10-5-2004

Antwoord

Hoi tim

bedankt voor de prachtige opgave

Hier gaan we dan:
Deze integraal is om te vormen tot de cirkelintegraal òÖ(r²-x²)dx

1) Concentreer je eerst op wat onder Ö staat:
8x-x² = -(x²-8x) = -(x²-8x+16-16) = -(x²-8x+16) + 16 = 4² - (x-4)²
In principe gaan we dus een cirkel met middelpunt (4,0) en straal 4 integreren tussen x=0 en x=8.
Maak de tekening en je ziet dat ze niets anders dan de halve oppervlakte van deze cirkel vragen. Dus ^(p42)/₂ = 8p
'Cadeautje', nietwaar?

2) Wil je dit 'cadeautje' niet zien en hardnekkig gaan integreren? Dan pas je eerst de substitutie: x-4 = 4sinq toe. Als je het goed doet krijg je 16òcos²qdq.
Je past nu de halveringsformule uit de goniometrie toe: cos²q = ^(1+cos2q)/₂ (deze is gewoon af te leiden uit: cos2q=cos²q-sin²q=2cos²q-1 (do you remember )
Hierdoor splitst de integraal zich in 2 stukken:
8òdq en 8òcos2qdq.
In het 2de stuk moet je de substitutie: sin2q=z toepassen.
Doe je dit correct, dan bekom je voor de volledige (onbepaalde) integraal: 8.q+4.z
Nu moet je de grenzen in rekening brengen:
ondergrens: x=0 = -4 = 4sinq = sinq=-1 = q=^-p/₂
en verder 2de substitutie z=sin2q geeft z=sin(-p)=0
bovengrens: doe je zelf .... je krijgt q=^p/₂ en z=0.
Vul deze grenzen in en je bekomt wat we al wisten hihi: 8p+0 = 8p

Frank

FvE
10-5-2004