WisFaq!

Mersenne-priemgetal

We moesten veschillende vragen beantwoorden maar van deze 2 snapte ik niet veel.
Vraag:
Een getal van de vorm 2 tot de macht n, - 1(met n een natuurlijk getal) dat bovendien een priemgetal is heet een Mersenne-priemgetal.

Ga na dat voor positieve gehele getallen a en b geldt:

(2tot de macht a, -1)(2 tot de macht a (tot de macht b-1)+ 2 tot de macht a (b-2)+ ... + 2 tot de macht a·2 + 2 tot de macht a, + 1) = 2 tot de macht ab, - 1

Leid daaruit af dat dat 2 tot de macht n - 1 een Mersenne priemgetal kan zijn als n een priemgetal is. (Een natuurlijk getal p 1 heet een priemgetal als p alleen door p en 1 deelbaar is)

Annita van den Elzen
10-5-2004

Antwoord

Dag Annita,

Als n=ab met a,b1 (dus n is geen priemgetal), dan kan je voor 2ⁿ-1 een ontbinding vinden, met andere woorden dan is 2ⁿ-1 geen Mersennepriemgetal.

Hoe bewijs je nu die ontbinding? Wel, je kent allicht wel het volgende merkwaardige product:

(xⁿ-yⁿ)=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y²+...+xy^n-2+y^n-1)

Werk het product in het rechterlid maar eens uit, dan zie je dat je juist op het linkerlid uitkomt.

Vul hier eens y=1 in, en noem die uitdrukking (*)

Nu terug naar de opgave. Stel n=ab.
Dan 2ⁿ = (2^a)^b=x^b
waarin ik x=2^a stel, dus x2.
Dus 2ⁿ-1 = x^b-1
Gebruik nu (*) om x^b-1 anders te schrijven, en je zal merken dat je een ontbinding krijgt in factoren.

Dus als n geen priemgetal is, dan is ook 2ⁿ-1 geen priemgetal. Of anders uitgedrukt: een Mersennegetal kan ALLEEN een MersennePRIEMgetal zijn als n priem is.

Bovendien, als n geen priemgetal is dan levert deze redenering meteen twee delers op, namelijk 2^a-1 en 2^b-1. Ga dit bv eens na voor n=6=2*3=a*b.

Groeten,
Christophe.

Christophe
10-5-2004