WisFaq!

Parameters / Asymptoten

Voor welke waarden van de rationale paramater a (ÎQ vertoont de grafiek van de functie f gegeven door

f(x) = x^a / 2-(x+1)^1/3

een horizontale asymptoot voor x®+¥
bepaal telkens vgl van de Ha
opl is :
a = 1/3 : HA : y=-1 (wat ik zelf heb gevonden)
a 1/3 : HA : y=0

hoe doe je dit

dank bij voorbaat

Dirk
9-5-2004

Antwoord

Ok Dirk

we gaan de noemer wortelvrij maken.
Dit doe je door teller en noemer te vermenigvuldigen met de speciale 3-term 2²+2.³Ö(x+1)+³Ö(x+1)².
Je volgt best door dit op papier te zetten:
de teller wordt: x^a[4+2.³Ö(x+1)+³Ö(x²+2x+1)]
de noemer is nu het verschil van 2 derde machten: 2³-³Ö(x+1)³ = 8-(x+1) = 8-x-1 = 7-x

Om de H.A. of de lim naar ±¥ te vinden mag je eerst +¥ invullen, maar je komt een onbepaaldheid uit.
Nu moet je in de 3 termen van de teller x^2/₃ voorop zetten. Dit is een algemene truc: de hoogstegraadsterm in x is bepalend.
In de noemer volstaat het x voorop te zetten: x(⁷/_x-1).
De vooropgezette factoren komen bij x^a te staan.
Je krijgt: x^ax^2/₃.x^-1 of dus x^ax^-1/₃
.
Nog beter is: x^(a-1/₃). Het komt goed hé.

1) Stel a = ¹/₃; dan is die totale vooropstaande factor x⁰. Dus altijd = 1.
Vul +¥ in en je krijgt: ⁰⁺⁰⁺¹/_-1 = -1. Dus de H.A. y=-1.

2) Stel a ¹/₃; dan blijft die voorfactor x^(a-1/₃) na het invullen van +¥ altijd = +¥. Er achter komt weer die .(-1); maar dus geen H.A.

3) Stel a ¹/₃; dan heeft die voorfactor een negatief exponent en dus komt er +¥ in de noemer (na invullen van +¥) en dat geeft 0; daarachter opnieuw die -1. Maar: 0.(-1) = 0.
Conclusie: H.A. y=0

(Hoewel dit niet simpel is, is het wel een algemeen gebruikte methode waar je dus steeds moet aan denken.)

Frank

FvE
9-5-2004