WisFaq!

Macht van een punt t.o.v. een cirkel

Hoe bewijs je het volgende ivm lijnstukken en gelijkvormige figuren?

Als twee rechten uit een punt P, binnen of buiten een cirkel gelegen, deze cirkel snijdt in A en B, respectievelijk in C en D, dan:

|PA|·|PB| = |PC|·|PD|

(macht van een punt t.o.v. een cirkel)

Lien
8-5-2004

Antwoord

Hoi Lien

het bewijs steunt op gelijke verhoudingen in gelijkvormige driehoeken.

Je moet het wel opdelen in 3 gevallen.

1) P ligt buiten de cirkel
Verbind A met D en B met C.
$\Delta$PAD ~ $\Delta$PCB (criterium HH).
hoek in P gemeenschappelijk en $\angle$B = $\angle$D (omtrekshoeken op dezelfde boog).
Hopelijk kan je zelf de gelijke verhoudingen van de zijden neerschrijven. Uitrekenen met 'kruisproduct' van evenredigheden en je hebt het.

2) P ligt op de cirkel
Nu is de macht van P tov de cirkel 0. En vermits 0 = 0 Zie je het?
Lijkt me toch nuttig om dit te vermelden.

3) P ligt binnen de cirkel
Trek de koorden [AB] en [CD].
$\Delta$PAB ~ $\Delta$PCD (HH)
overstaande (en dus gelijke) hoeken in P
en $\angle$A = $\angle$D (omtrekshoeken op dezelfde boog).
Ga verder zoals in 1)

Hiermee heb je dan bewezen dat de macht v/e punt tov cirkel onafhankelijk is van de gekozen rechte door P.

Frank

FvE
8-5-2004