WisFaq!

Rij van sin(5x)

De rij van de gewone sin(x) = x - x³/6 + x⁵/120 - .....
Is dan de rij van sin (5x) = 5x - (5x)³/6 + (5x)⁵/120 - ...... ?

Als dit inderdaad zo is, hoe moet ik dan bewijzen dat
lim sin(5x)/x = 0
x®¥

Met vriendelijke groet,
Henri Dokter

Henri Dokter
6-5-2004

Antwoord

Ontwikkelen in een Taylorreeks doe je volgens de formule bovenaan deze pagina:
http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html

Dus als je sin(5x) in een reeks (rond 0, dus a=0) wilt ontwikkelen:
* de eerste term f(0)=0

* voor de tweede term moet je f'(x) berekenen. f'(x)=5cos5x (vergeet de kettingregel niet!)
dus de tweede term is x.f'(0) = 5x

* voor de derde term moet je f"(x) weten = -25sin5x
dus de derde term is ¹/₂x².f"(0)
= ¹/₂x².(-25sin(5.0))= 0

* voor de 4e term moet je f"'(x)weten
= -125cos5x
dus de 4e term is (1/6)x³.f"'(0)
= (1/6)x³.(-125.cos(5.0))= -125/6.x³

enz...

en het bewijs van de limiet:
Waarom zo moeilijk doen met reeksontwikkelingen?
Makkelijker is om te zeggen: de teller is altijd een getal tussen -1 en +1, en de noemer gaat naar ¥.
Dus de breuk gaat naar nul.

groeten,

martijn

mg
7-5-2004