WisFaq!

Re: Dualiteit platonische lichamen

Héhé

Ik heb rond dualiteit nog enkele vraagjes:

1. Hoe zou je dualiteit omschrijven. Dus een wel een wiskundige definitie.
   Ik doe een poging (maar wiskundig gezien zal er wel weer veel tekort zijn...): 2 lichamen zijn duaal a.s.a. het ene lichaam past in het andere lichaam en omgekeerd.
2. Moet je nu de zwaartepunten nemen of de middelpunten van de zijvlakken om deze met elkaar te verbinden?
3. En hoe kun je dit zien in de tabel? Ik merk inderdaad dat bvb het aantal zijvlakken van een kubus (6) zorgen voor de 6 toppen van de octaëder. Ik merk ook dat ze hetzelfde aantal ribben hebben, maar waarom...?

En hoe je aan de tabel kunt zien waarom de tetraëder duaal is met zichzelf...? Of komt dit omdat het aantal toppen gelijk is aan het aantal zijvlakken?

Bedankt voor de hulp!

Sofie
6-5-2004

Antwoord

1.
We voeren een nieuwe notatie voor platonisch lichamen in, namelijk {p,q} met
p:aantal zijden van een zijvlak (orde van de zijde)
q:aantal zijvlakken in een hoekpunt (orde van het hoekpunt)

We krijgen dan:
tetraëder: {3,3}
kubus: {4,3}
octaëder: {3,4}
dodecaëder: {5,3}
icosaëder: {3,5}

De dualiteit kan je nu beschrijven als:

Als {p,q} een platonisch lichaam, dan is {q,p} dat ook.

2.
Ik weet niet precies wat je bedoelt met middelpunten van de zijvlakken, maar omdat het regelmatige veelhoeken zijn lijkt me het zwaartepunt en het 'middelpunt' hetzelfde, toch?

3.
Dit is met het antwoord op vraag 1. al beantwoord, denk ik.

Succes!

WvR
7-5-2004