WisFaq!

Veelhoeken - constructie

Héhé

Ik heb een vraagje betreffende de constructies van regelmatige veelhoeken enkel met passer en linaal!!

Ik heb een rijtje van 20 gemaakt. Daar heb ik alles geschrapt wat je kan bekomen via een regelmatige 3-, 4- en 5-hoek. (omdat wanneer je een n-hoek kan construeren, dan kun je ook gemakkelijk een 2n-hoek bekomen)

Dan bleef er enkel nog over: 1,2,7,9,11,13,14,15,17,18 en 19.

17 mag je ook schrappen (Gauss)
Maar in wisfaq vond ik enkel terug dat 7-,9-,11-,13- en 19-hoeken niet gecvonstrueerd worden.

Dus kan een regelmatige 14-,15- en 18-hoek TOCH geconstrueerd worden misschien???

Bedankt!!

Sofie
5-5-2004

Antwoord

Hallo Sofie,

Een regelmatige n-hoek is construeerbaar als en alleen als:
n bevat als priemfactoren enkel
2 (tot eender welke macht)
Fermatpriemen (maar nooit tot tweede of hogere macht).

Fermatpriemen zijn priemgetallen van de vorm 2^(2^k)+1
Dus k=0: 3; k=1: 5; k=2: 17; k=3: 257; k=4: 65537;...

Dus WEL construeerbaar:
1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,24,30,32,34,40,48,51,60,64, 68,80,85,96,...

NIET construeerbaar:
7 is geen Fermatpriem
9 bevat 3 (een Fermatpriem) in het kwadraat
11,13 is geen Fermatpriem
14 bevat 7, geen FP
18 bevat 3²
19 is geen FP
21 bevat 7: geen FP
...

Tot slot: constructies van een 5-hoek vind je hier; voor een 17-hoek kan je hier terecht.

Groeten,
Christophe.

Christophe
5-5-2004