WisFaq!

Vraag over oplossing

Gegeven is de functie: f(x)=sin³(x) / cos²(x)
en gegeven is g(x) = -3/2 tan(x)

vraag:
los op f(x) = g(x)

mbv van mijn GR kan ik hem oplossen, er staat niet los algebraisch op, dus dat is toegestaan op mijn examen.

maar ik kijk bij de uitwerking van deze som (opg 2 - Wis b 2000-I)

en zie (tot mijn schrik) het volgende:

sin³(x) / cos²(x) = -3/2 tan(x) ... snap ik
sin³(x) / cos²(x) = -3 sin (x) /2 cos(x) ... snap ik
sin x = 0 Ú sin²(x)/cos(x) = -3/2 ... hoe komen ze aan
sin x = 0 ?

sin x = 0 of 2 sin²(x) = -3cos(x) ... snap ik wel weer
sin x = 0 of 2(1-cos²(x)) = -3cos(x) ... snap ik
sin x = 0 of 2cos²(x) - 3cos(x) - 2 = 0 ... no problem here
= sin x = 0 of cos x = 2 of cos x = -1/2 ... ABCformule
maar dan:
x = 0 of x = 2p/3 of x= p of x = 4p/3 of x= 2p

hoe komen ze aan dit setje antwoorden ?

bij voorbaat dank,
met vriendelijke groet S. Hoekman

Samuel Hoekman
4-5-2004

Antwoord

Je eerste probleem : sin x = 0
Stel je hebt de vergelijking : x = x² - 3x
Je deelt de twee leden door x: 1 = x - 3
En je krijgt als oplossing : x = 4
Dit klopt, maar door de twee leden te delen door x, mis je de oplossing : x = 0 (want dit is ook een oplossing voor de opgegeven vergelijking).
In je opgave hierboven wordt sin x weggedeeld, dus moet je er rekening mee houden dat sin x = 0 ook een oplossing is.

Probleem 2.
Je krijgt als basisvergelijkingen :
sin x = 0 ; dit is voor de hoeken 0 en $\pi$
cos x = 2 ; dit heeft geen oplossingen
cos x = -¹/₂ ; dit geldt voor de hoeken 2$\pi$/3 en 4$\pi$/3.

Eigenlijk is deze oplossingverzameling helemaal niet volledig. Alle hoeken die je bekomt door bij de vorige hoeken een veelvoud van 2$\pi$ op te tellen zijn ook oplossingen.

De volledige oplossingsverzameling is (met k = geheel getal)
x = k$\pi$ ; x = 2$\pi$/3 + 2k$\pi$ ; x = 4$\pi$/3 + 2k$\pi$

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

LL
4-5-2004