WisFaq!

Complex Complex Getal?

Een gevolg van mijn eerdere vraag over logaritmen met een complex grondgetal heeft een nieuwe vraag opgewekt.
Een Complex Getal wordt aangeduid in het complexe vlak als
Z=a + bi
of met de Euler notatie
Z= e^iA
A= Hoek van de complexegetal vector.
Stel nu dat we de hoek "A" ook een complex getal maken.

Hieruit volgt uiteraard dat de definitie:
Z=e^iA
geen enkel propbleem oplevert want de exponent zal dan gewoon complex zijn dan wel reeel, en dit is volkomen consequent: in het complexe domein mag elk complex getal "z" een reeele waarde aannemen.

In mijn redeneringen vanuit de definitie van logaritmen met een complex grondgetal zowel als een complex argument heb ik aangetond dat er consequente oplossingen zijn.

Nu rijst de vraag hoe een complexe hoek in een complex getal in de Euler notatie representatief gemaakt kan worden in het complexe vlak? Hoe ziet het coordinaat systeem er uit als ik de hoek complex maak zolas bijvoorbeeld A= ( /2 + /4i)

Is een 3-D representatie met twee imaginaire assen hier doelmatig? Ik bedoel eenvoudigweg dat er twee imaginaire assen zijn. In plaats van een Complexe Circle onstaat er een "Complex Sphere" waarin de complexe vector hoek eenvoudigweg de twee complexe assen zijn.

Is mijn constructie zinvol of alleen maar een leuk wiskunde spelletje?

Conrad Winkelman
30-3-2002

Antwoord

Een complex getal z=a + b.i, bestaat uit een reeel gedeelte (a) en een complex gedeelte (b.i), de a en de b zijn REELE getallen.

Welnu, dit complexe getal z is ook te schrijven als:
z= c.e^(id), met c & d Reeel. (en niet slechts e^(id) zoals jij schrijft want dat is enkel de verzameling complexe getallen waarvan de absolute waarde 1 is)

Als je dit uitschrijft, is dit:
z=c.(cos(d) + i.sin(d))
het complexe gedeelte is dus i.c.sin(d), en het reele gedeelte is c.cos(d).

Jouw vraag is nu: WAT nu als mijn 'd' complex is? Dan moet je eenvoudigweg uitschrijven:

Stel z=c.e^(i.d) en d=x+i.y
(dit is je probleem, toch?), je moet gewoon substitueren en uitschrijven.
Zo krijg je:

z=c.e^(i.(x+iy))
=c.e^(ix-y)
=c.e^(ix).e^(-y)
=c.e^(-y).e(ix)=K.e^(ix)
met K reeel!

Hopelijk heeft dit e.e.a. verhelderd.
groetjes, Martijn

mg
9-4-2002