WisFaq!

Verdelingsfunctie rechtscontinu

Hoe bewijs ik dat een verdelingsfunctie rechtscontinu is?

Henriette Banga
2-5-2004

Antwoord

Stel dat X een stochast is met kansfunctie P en verdelingsfunctie F. Dus F(x)=P(X$\leq$x)
We moeten bewijzen dat lim_h¯0 F(x+h) = F(x).

Omdat F monotoon niet-dalend is, is het voldoende te bewijzen dat lim_n$\to\infty$ F(x+h_n) = F(x), als h_n¯0 voor n$\to\infty$.

Welnu, voor zulke h_n geldt dat {X$\leq$x+h_n}\{X$\leq$x}¯Æ voor n$\to\infty$, zodat F(x+h_n)-F(x) ¯0.

Merk op dat F niet altijd overal linkscontinu is, want er geldt: {X kleiner of gelijk aan x}\{X kleiner of gelijk aan x-h_n} nadert naar {X=x}; dus F(x)-lim_n$\to\infty$ F(x-h_n) = P(X=x).
Als {X=x} een positieve kans heeft is F niet linkscontinu in x.

Definieert men G door G(x):=P(X$<$x), dan is G juist linkscontinu, en niet rechtscontinu.

hr
3-5-2004