WisFaq!

Qoutientring/Polynomen

R = /3/(X³+X+1)
De klasse van X+1 geven we aan met a

a) Hoeveel elementen heeft R?
b) Is a inverteerbaar, zo ja geef inverse.
c) Geef alle inverteerbare elementen van R

Kunnen julie ons hierbij helpen, wij kunnen deze vraag niet oplossen. Buiten dat weten wij niet goed waar (X³+X+1)
met de rest verband houdt. En wanneer is er sprake van een lichaam?

alvast bedankt

bernd van luijtelaar
29-4-2004

Antwoord

Hallo Bernd,

Ik zal eerst de structuur van R proberen uitleggen:
- je werkt als basisveld met /3, dat is dus enkel met elementen 0,1,-1
- Daar zet je [X ] achter, dus je bekijkt de polynomen in één variabele X over /3
- Dan deel je X³+X+1 uit, dwz je stelt X³+X+1=0. Of nog: je zal nooit polynomen van derde graad of hoger bekijken, want X³ kan je vervangen door -X-1.

Dat is dus net hetzelfde als bij je /3: het element 7 wordt gelijkgesteld aan het element 1.

Hoeveel elementen heeft R? Wel, dat zijn de polynomen van graad 0 (dus de constanten 0,1,-1); de polynomen van graad 1 (dus X,X+1,X-1,-X,-X+1,-X-1); de polynomen van graad 2 (X²-X-1,...)

Samen dus alle aX²+bX+c, met a,b,cÎ{0,1,-1}

Hoe kan je nu bepalen of X+1 een inverse heeft? Wel, dan moet je een element in R kunnen vinden, noem het Y, zodat (X+1)Y=1. Echter, 1 in R betekent: 1, of X³+X+1+1, of -X³-X-1+1, of...

Je kan dit aanpakken door het product van (X+1) met elk element van R te berekenen, en te kijken of je niet eens op 1 uitkomt. Het zal wel duidelijk zijn dat als je voor Y een constante neemt, of een eerste graadspolynoom, je nooit op 1 zal komen. Dus probeer eens een paar tweedegraadspolynomen uit, uiteindelijk zal je op een oplossing komen, dus X+1 heeft een invers.

Hoe kan je nu een lijst maken van alle inverteerbare elementen? Wel, uit vorige vraag heb je al een product AB dat 1 wordt, A en B zijn dus inverteerbaar. Maar dan zal ook (-A)(-B)=1, en A²B²=1, en A³B³=1, enzovoort voor alle machten. Ook de constanten 1 en -1 zijn logischerwijs inverteerbaar.

Er zullen echter ook niet-inverteerbare elementen opduiken: 0 natuurlijk, maar bijvoorbeeld ook X-1, want:
(X-1)(aX²+bX+c)=aX³+(b-a)X²+(c-b)X-c
= (b-a)X²+(c-b-a)X+(-c-a)
=1 als b=a EN c-b-a=0 (dus c-2a=0 dus c+a=0) EN -c-a=1 dus c+a=-1)

Hoe komt het nu dat sommige elementen niet inverteerbaar zijn? Dat komt omdat die elementen een deler zijn van de nul, dus van X³+X+1. Ga maar na: X-1 is hier een deler van (vergeet niet in /3 te denken!)

En tot slot: wanneer is er sprake van een lichaam (in Vlaanderen: een veld)? Dat vereist dat elk nietnulelement een invers heeft. In deze situatie heb je dus geen veld, dat heb je wel als je ipv X³+X+1, een irreducibele veelterm uitdeelt, bijvoorbeeld X³+X²-1. Want X,X-1 en X+1 zijn hier geen delers van vermits 0,1 en -1 geen nulpunten zijn van de polynoom.

Hopelijk is het zo wat duidelijker,

Groeten,
Christophe.

Christophe
29-4-2004