WisFaq!

Poolvoorstelling

Onderzoek de familie van krommen r=sin nf.
De krommen lijken op bloemen. Zoek een verband tussen het aantal blaadjes en het getal n.
Verklaar je antwoord.

Ik ben er al achter gekomen dat de even getallen 2n aantal blaadjes hebben en de oneven getallen n aantal blaadjes hebben. Maar ik kom er maar niet achter wat het verband is.

Loes
28-4-2004

Antwoord

Dag Loes,

r=sin(nf)
Laat f eens lopen van 0 tot p/n
Dan loopt nf van 0 tot p
Dus loopt r van 0, over 1, tot 0. Dat is met andere woorden juist één bloemblaadje.

Laat je daarna f van p/n naar 2p/n lopen, dan zal r variëren van 0, over -1, naar 0. Dus nog een blaadje, maar nu met negatieve r.

In het totaal loopt f van 0 naar 2p, dus dat zijn 2n van zulke intervallen, dus ook 2n bloemblaadjes.

Nu klopt het inderdaad dat voor oneven n, er maar n blaadjes zijn, en niet 2n. Dit kan dus enkel komen doordat er blaadjes samenvallen.

Op welke manier kan je nu een blaadje dubbel hebben? Dat kan enkel als je het punt (f,r) hebt, én het punt (p+f,-r)

Ga maar na: het punt met f=30° en r=0.5 is exact hetzelfde als het punt met f=210° en r=-0.5

Dus moet je enkel nog nagaan voor welke n geldt dat, als
r=sin(nf) dan ook -r=sin(n(p+f)) Bekijk eens apart de gevallen even en oneven n, en dan zou je er moeten geraken, anders reageer je maar...

Groeten,
Christophe.

Christophe
28-4-2004