WisFaq!

Re: Arithmetische functies

Hallo Christophe,

Heel erg bednakt voor je uitleg.Ik heb nog een vraag over het tweede gedeelte.
Ik begrijp dat in de priemfactorisatie van n de priemen =3(mod4) van de vorm q^(2nj) zijn. Maar waarom zijn de priemen p ( met p niet gelijk aan 2) =1(mod4)?

Met de Eulerproduct kan ik die uitdrukking afleiden:

[SOM]f(n)*n^(-s)=[P]{1+f(p)*p^-s+f(p^2)*p^-2s+...}

Met [P] het product over alle priemen p.

Moet je gewoon de formule invullen,het product opsplitsen en de zetafunctie gebruiken? Of moet je meer bewijzen?

Groeten,

Viky

viky
21-4-2004

Antwoord

Je hebt maar 3 groepen van priemgetallen, namelijk:
p=2 (deze priem mag tot eender welke exponent voorkomen);
p=1 (mod4) (ook deze priemen mogen eender welke exponent hebben);
p=3 (mod4) (deze moeten hier even exponent hebben).

Het is dus gewoon een manier om te zeggen dat bepaalde priemen (3mod4) even exponent moeten hebben, en dat alle andere priemen (dus 1mod4, en ook 2) zoveel mogen voorkomen als je wil.

En dan dat laatste:
f(n)n^-s is multiplicatief, want:
f(a)a^-sf(b)b^-s=f(ab)(ab)^-s wanneer ggd(a,b)=1.

Dus mag je inderdaad de opgave als volgt herschrijven:
åf(n)n^-s=Õ(1+f(p)p^-s+f(p²)p^-2s+...)
Waarbij de som loopt van 0 tot oneindig, en het product loopt over alle priemen.

Nu moet je dat product over ALLE priemen, opsplitsen in een factor voor p=2, MAAL het product over de priemen (1mod4) MAAL het product over de priemen (3mod4)

Dat heeft als voordeel dat je f(pⁱ) kan vervangen door:
0 als p=3mod4 EN i is oneven
1 in alle andere gevallen

Dit geeft:
(1+2^-s+2^-2s+...)*
Õ(1+p^-s+p^-2s+...)*
Õ(1+p^-2s+p^-4s+...)

waarbij het eerste product over priemen (1mod4) loopt en het tweede over priemen (3mod4)

En deze vorm kan je meteen omschrijven naar het gevraagde, want (ik zal de tweede factor uitwerken):
(1+p^-s+(p^-s)²+(p^-s)³+...)*
(1-p^-s)
=1-(p^-s)^¥
=1

(vergelijk met: (1+q+q²+q³+..+qⁿ)(1-q)=1-qⁿ⁺¹)

Dus
(1+p^-s+(p^-s)²+(p^-s)³+...)
=1/(1-p^-s)

QED.

Groeten,
Christophe.

Christophe
21-4-2004