WisFaq!

Boole Algebra

Beste,

In een Engelse boek over Boole Algebra vond ik volgende, kan u mij dit uitleggen, ik vind de verklaring echt niet:

Let Bⁿ = B x B x ... x B (n factors) where the operations +,· and ' are defined componentwise using (en dan een tekening van 3 tabelletjes; de eerste 2 met 1 en 0 langs de linkerkant en 1 en 0 langs de bovenkant en met bewerking resp. + en ·, en een derde met enkel bovenaan 1 en 0 en als bewerking '). For natational convenience, we write the elements of Bⁿ as n-bit sequences without commas, eg x = 110011 and y = 111000 belong to B⁶. Hence x + y = 111011 , x·y = 110000 , x' = 001100. Then Bⁿ is a Boolean algebra. Here 0 = 000...0 is the zero element, and 1 = 111...1 is the unit element. We note that Bⁿ has 2ⁿ elements.

Wat is de betekenis hiervan en hoe verklaar je dit+ wat is eigenlijk het zero element en het unitair element?

Groeten,

Nicolaas Matthijs
19-4-2004

Antwoord

Hallo Nicolaas,

Allereerst definieer je drie bewerkingen: +, * en '.
Deze werken in op de getallen 0 en 1, als volgt (dit haal je uit die drie tabellen):
0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1
0*0=0, 0*1=0, 1*0=0, 1*1=1
'0=1, '1=0

Merk op dat de + dus een OR-operator is, de * een AND-operator en de ' een NOT-operator.

De elementen waarmee je hier werkt, zijn rijen van n nullen en enen. Hier wordt voor de voorbeelden n=6 gekozen.

Op zulke rijtjes kan je nu ook de bewerkingen +,*,' definiëren.
Al deze bewerkingen worden componentgewijs gedefinieerd, dit betekent:
110011 + 111000 = (1+1,1+1,0+1,0+0,1+0,1+0)
(Ik heb komma's gebruikt voor de duidelijkheid)
= 111011 want 1+1=1, 0+1=1, 0+0=0, 1+0=1.

Op die manier kan je dus x+y, x*y en 'x berekenen voor eender welke x,yÎBⁿ (dus x en y zijn rijtjes van n nullen en enen).

Nu kan je 111..1 het neutraal element voor * noemen, want voor elke x dat een rijtje is van n enen en nullen, geldt dat:
x*111..1 = x = 111..1*x

En 000...0 is het nulelement of opslorpend element voor *, want 000..0*x = 000..0 = x*000..0

En 000..0 is het neutraal element voor +, want
000..0+x = x = x+000..0

111..1 en 000..0 spelen dus de rol van 1 resp. 0 voor de natuurlijke getallen, waar geldt
x*1=x=1*x, x+0=x=0+x, x*0=0=0*x

Groeten,
Christophe.

Christophe
19-4-2004