WisFaq!

Constructies met passer en liniaal

ik kan tot nu toe een regelmatige 7-hoek, en een regelmatige 9-hoek met passer en liniaal tekenen,
wie zet mij op weg voor een 11-hoek en een 13-hoek
maak mij niet wijs dat het onmogelijk is.

rik pieters
19-4-2004

Antwoord

Proficiat, dan ben je de eerste die een tegenvoorbeeld vindt voor een bepaalde stelling van Gauss ;-)

Die stelling zegt: Een regelmatige n-hoek kan met passer en liniaal worden geconstrueerd als en slechts als n van de volgende vorm is:
n=2^t*p₁*p₂...

waarbij die p_i verschillende Fermatpriemgetallen zijn, dat zijn priemgetallen 2^2k+1

Fermatpriemen zijn dus:
3 (k=0)
5 (k=1)
17 (k=2)
65537 (k=3)
...

Met andere woorden: je kan enkel volgende n-hoeken construeren met passer en liniaal:
n=3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,24,30,32,34,40,48,...
En dus NIET voor n=9 (9=3² en 3 is een Fermatpriem, maar je mag geen twee keer dezelfde Fermatpriem gebruiken), n=7 (7 is geen Fermatpriem), n=11, n=13.

Als je dus zegt dat je een constructie hebt voor een regelmatige 9- of 7-hoek, dan is die ofwel fout, ofwel gebruik je hulpmiddelen (zoals een gradenboog bijvoorbeeld).

Groeten,
Christophe.

Christophe
19-4-2004