WisFaq!

Echelonvorm

Ik heb net deze oefening eens geprobeert maar geraak maar niet aan de juiste oplossing. Ze vragen om de mogelijke rang van de volgende matrix te bespreken en als ik het goed heb moet je eerst deze matrix naar zijn echelonvorm herleiden,maar daar geraak ik niet aan.
Kunnen jullie helpen me aan deze echelonvorm te brengen.

Matrix is:

-2 1+a a a
a 1+a a a
a 1+a -2 a
a 1+a a 2+2a

greetz

jetten
16-4-2004

Antwoord

Inderdaad moet je deze matrix herleiden naar zijn echelonvorm, maar je moet er tegelijk rekening mee houden dat de parameter a alle mogelijke reële waarden kan aannemen.

Indien je met -2 als spil de eerste kolom "opruimt" krijg je

| | | | |	-2	a+1	a	a	| | | | |
	0	-(a+1)(a+2)	-a2-2a	-a2-2a
	0	-(a+1)(a+2)	4-a2	-a2-2a
	0	-(a+1)(a+2)	-a2-2a	-a2-4a-4

Als a¹-2 kun je rij 2, 3, 4 delen door a+2:

| | | | |	-2	a+1	a	a	| | | | |
	0	a+1	a	a
	0	a+1	a-2	a
	0	a+1	a	a+2

Als nu a¹-1 kun je met a+1 als spil ook de tweede kolom opruimen :

| | | | |	-2	0	0	0	| | | | |
	0	a+1	a	a
	0	0	-2	0
	0	0	0	2

Nu kan ook de derde en vierde kolom opgeruimd worden :

| | | | |	-2	0	0	0	| | | | |
	0	a+1	0	0
	0	0	1	0
	0	0	0	1

Dus voor alle reële waarden van a behalve voor a=-2 en a=-1 is de rang van de matrix steeds gelijk aan 4.

Als a=-2 vind je als rijcanonieke matrix :

| | | | |	-2	-1	-2	-2	| | | | |
	0	0	0	0
	0	0	0	0
	0	0	0	0

De rang is dan dus gelijk aan 1.

Als a=-1 krijg je als rijcanonieke matrix :

| | | | |	-2	0	0	0	| | | | |
	0	0	1	0
	0	0	0	1
	0	0	0	0

De rang is nu dus gelijk aan 3.

LL
18-4-2004