WisFaq!

Matrices (oef toelatingsex burg)

Opgave
-------
Zij gegeven 1 1 0
A = 0 1 0 Î ^3*3
0 0 1

(i) toon aan dat A inverteerbaar is
(ii) Bepaal voor alle n Î , Aⁿ en motiveer uw antwoord
(iii) Toon aan dat er reële getallen a en b bestaan zodat

A²+ aA + BI = 0
(hierbij zijn I en 0, respectievelijk, de eenheidsmatrix en de nulmatrix in ^3*3

(iv) Toon aan dat voor alle n Î, er reële getallen a_n, a_n-1,...,a₀ bestaan zodat: A^-n = a_nAⁿ + a_n-1A^n-1+...+ a₁A + a₀I

EN bepaal deze getallen expliciet

Wat ik reeds vond
-------------------
(i) 1 -1 0
A^-1= 0 1 0
0 0 1

(ii) 1 n 0
Aⁿ= 0 1 0
0 0 1

want doordat Aⁿ= A*A*A*... (n factoren) , doe je steeds eerste rij * tweede kolom.

(iii) a= -2
b= 1

(iv) Hier zit ik jammer genoeg vast.
Ik vermoed dat ik elementen uit (ii) moet gebruiken. Maar ik weet echt niet hoe te beginnen.

Bert Giebens
15-4-2004

Antwoord

Uit (i) volgt dat (ii) ook geldt als n Î.

Uit (iv) volgt dan een stelsel van 2 vergelijkingen met n+1 onbekenden.

a_n + a_n-1 + a_n-2 + ... + a₂ + a₁ + a₀ = 1
n.a_n + (n-1)a_n-1 + (n-2)a_n-2 + ... + 2a₂ + a₁ = -n

In matrixvorm:


We maken deze matrix rijcanoniek :


Er zijn dus oneindig veel oplossingen voor de onbekenden a_n,a_n-1,a_n-2,...,a₂,a₁,a₀

a_n en a_n-1 zijn de hoofdonbekenden
De andere zijn nevenonbekenden die we dus gemakkelijkheidshalve kunnen gelijk stellen aan 0.

Dan is a_n = 1-2n en a_n-1 = 2n.

Bijvoorbeeld :

A^-7 = -13.A⁷ + 14.A⁶

LL
15-4-2004